微分

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目录 1 一元微分 1.1 定义 1.2 几何意义 1.3 定性解释 2 多元微分 2.1 定义 2.2 几何意义

[编辑] 一元微分

[编辑] 定义

设函数y = f(x)在某区间内有定义，x₀及x₀ + Δx在此区间内。如果函数的增量Δy = f(x₀ + Δx) − f(x)可表示为 Δy = AΔx + o(Δx)（其中A是不依赖于Δx的常数），而是比Δx高阶的无穷小，那么称函数f(x)在点x₀是可微的，且AΔx称作函数在点x₀相应于自变量增量Δx的微分，记作dy，即dy = AΔx。

通常把自变量x的增量 Δx称为自变量的微分，记作dx，即dx = Δx。于是函数y = f(x)的微分又可记作dy = f'(x)dx。函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数。因此，导数也叫做微商。

[编辑] 几何意义

设Δx是曲线y = f(x)上的点M的在横坐标上的增量，Δy是曲线在点M对应Δx在纵坐标上的增量，dy是曲线在点M的切线对应Δx在纵坐标上的增量。当很小时，比要小得多(高阶无穷小)，因此在点M附近，我们可以用切线段来近似代替曲线段。

[编辑] 定性解释

微分表示的是一种运算，它等于曲线上某一点的导数乘以自变量的改变值。而函数确定以后，某一点的导数肯定是个常量值，所以微分是一种线性运算。这也解释了为什么我们可以用无穷小的直线段去近似表达曲线。

[编辑] 多元微分

[编辑] 定义

[编辑] 几何意义