托勒密定理

维库，知识与思想的自由文库

托勒密(Ptolemy)定理指出，四边形的任两组对边乘积不小于另外一组对边的乘积，取等号当且仅当四边形为圆内接四边形，或退化为直线（这时也称为欧拉定理）。

也可以叙述为：圆内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。

及其逆定理：一个凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，则这个凸四边形内接于一圆。

[编辑] 证明

• • 简单的证明：

用a、b、c、d分别表示四边形顶点A、B、C、D的复数，则AB、CD、AD、BC、AC、BD的长度分别是：(a-b)、(c-d)、(a-d)、(b-c)、(a-c)、(b-d)。

首先注意到复数恒等式： (a − b)(c − d) + (a − d)(b − c) = (a − c)(b − d) ，两边取模，运用三角不等式得。

等号成立的条件是(a-b)(c-d)与(a-d)(b-c)的辐角相等，这与A、B、C、D四点共圆等价。

• • 四点不限于同一平面。
  • 平面上，托勒密不等式是三角不等式的反演形式。