拉普拉斯变换

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拉普拉斯变换是工程数学中常用的一种积分变换。

[编辑] 基本定义

如果定义：

$f(t)\,$ 是一个关于 $t\,$ 的函数，使得当 $t<0\,$ 时候， $f(t)=0\,$ ；
$s\,$ 是一个复变量；
$\mathcal{L}$ 是一个运算符号，它代表对其对象进行拉普拉斯积分 $\int_0^\infty e^{-st}\,dt$ ； $F(s)\,$ 是 $f(t)\,$ 的拉普拉斯变换结果。

则 $f(t)\,$ 的拉普拉斯变换由下列式子给出：

$F(s)\,=\mathcal{L}\left\{f(t)\right\}=\int_{0}^\infty f(t)\,e^{-st} \,dt$

[编辑] 拉普拉斯逆变换

拉普拉斯逆变换，是已知 $F(s)\,$ ，求解 $f(t)\,$ 的过程。用符号 $\mathcal{L}^{-1}\,$ 表示。

拉普拉斯逆变换的公式是：

对于所有的 $t>0\,$ ；

$f(t) = \mathcal{L}^{-1} \left\{F(s)\right\} =\frac{1}{2\pi j}\int_{c-j\infty}^{c+j\infty} F(s)\,e^{st} \,ds$

$c\,$ 是收敛区间的横坐标值，是一个实常数且大于所有 $F(s)\,$ 的个别点的实部值。

[编辑] 拉普拉斯变换的存在性

主条目：拉普拉斯变换的存在性

关于一个函数 $f(t)\,$ 的拉普拉斯变换，只有在拉普拉斯积分是收敛的情况下才存在。也就是说， $f(t)\,$ 必须是在对于 $t>0\,$ 的每一个有限区间内都是片断性连续的，且当 $t\,$ 趋于无穷大的时候， $f(t)\,$ 是指数阶地变化。

[编辑] 拉普拉斯变换的基本性质

线性叠加

$\mathcal{L}\left\{a f(t) + b g(t) \right\} = a \mathcal{L}\left\{ f(t) \right\} + b \mathcal{L}\left\{ g(t) \right\}$

微分

$\mathcal{L}\{f'\} = s \mathcal{L}\{f\} - f(0)$

$\mathcal{L}\{f''\} = s^2 \mathcal{L}\{f\} - s f(0) - f'(0)$

$\mathcal{L}\left\{ f^{(n)} \right\} = s^n \mathcal{L}\{f\} - s^{n - 1} f(0) - \cdots - f^{(n - 1)}(0)$

时域

$\mathcal{L}\{ t f(t)\} = -F'(s)$

频域

$\mathcal{L}\left\{ \frac{f(t)}{t} \right\} = \int_s^\infty F(\sigma)\, d\sigma$

积分

$\mathcal{L}\left\{ \int_0^t f(\tau)\, d\tau \right\} = \mathcal{L}\left\{ 1 * f(t)\right\} = {1 \over s} \mathcal{L}\{f\}$

初始值定理

$f(0^+)=\lim_{s\to \infty}{sF(s)}$

终值定理

$f(\infty)=\lim_{s\to 0}{sF(s)}$ , 所有极点都在左半复平面。

终值定理的实用性在于它能预见到系统的长期表现，且避免部分分式展开。如果函数的极点在右半平面，那么系统的终值是不定义的(例如： $e^t\,$ 或 $\sin(t)\,$ )。

$s$ 移动

$\mathcal{L}\left\{ e^{at} f(t) \right\} = F(s - a)$

$\mathcal{L}^{-1} \left\{ F(s - a) \right\} = e^{at} f(t)$

$t$ 移动

$\mathcal{L}\left\{ f(t - a) u(t - a) \right\} = e^{-as} F(s)$

$\mathcal{L}^{-1} \left\{ e^{-as} F(s) \right\} = f(t - a) u(t - a)$

注: $u(t)\,$ 表示阶跃函数.

$n$ 次幂移动

$\mathcal{L}\{\,t^nf(t)\} = (-1)^nD_s^n[F(s)]$

卷积

$\mathcal{L}\{f * g\} = \mathcal{L}\{ f \} \mathcal{L}\{ g \}$

[编辑] 变换简表

原函数 $x(t) = \mathcal{L}^{-1} \left\{ X(s) \right\}$	转换后函数 $X(s) = \mathcal{L}\left\{ x(t) \right\}$	收敛区域
$\delta(t) \$	$1 \$	$\mathrm{all} \ s \,$
$\delta(t-\tau) \$	$e^{-\tau s} \$
$u(t) \$	${ 1 \over s }$	$s > 0 \,$
$u(t-\tau) \$	${ e^{-\tau s} \over s }$	$s > 0 \,$
$t \cdot u(t)\$	$\frac{1}{s^2}$	$s > 0 \,$
$e^{-\alpha t} \cdot u(t) \$	${ 1 \over s+\alpha }$	$s > - \alpha \$
$( 1-e^{-\alpha t}) \cdot u(t) \$	$\frac{\alpha}{s(s+\alpha)}$	$s > 0\$
$\sin(\omega t) \cdot u(t) \$	${ \omega \over s^2 + \omega^2 }$	$s > 0 \$
$\cos(\omega t) \cdot u(t) \$	${ s \over s^2 + \omega^2 }$	$s > 0 \$
$\sinh(\alpha t) \cdot u(t) \$	${ \alpha \over s^2 - \alpha^2 }$	$s > \| \alpha \| \$
$\cosh(\alpha t) \cdot u(t) \$	${ s \over s^2 - \alpha^2 }$	$s > \| \alpha \| \$
$e^{-\alpha t} \sin(\omega t) \cdot u(t) \$	${ \omega \over (s+\alpha )^2 + \omega^2 }$	$s > -\alpha \$
$e^{-\alpha t} \cos(\omega t) \cdot u(t) \$	${ s+\alpha \over (s+\alpha )^2 + \omega^2 }$	$s > -\alpha \$
${ t^n \over n! } \cdot u(t)$	${ 1 \over s^{n+1} }$	$s > 0 \,$
$\frac{t^{n}}{n!}e^{-\alpha t} \cdot u(t)$	$\frac{1}{(s+\alpha)^{n+1}}$	$s > - \alpha \,$
$\sqrt[n]{t} \cdot u(t)$	$s^{-(n+1)/n} \cdot \Gamma\left(1+\frac{1}{n}\right)$	$s > 0 \,$
$\ln \left ( { t \over t_0 } \right ) \cdot u(t)$	$- { t_0 \over s} \ [ \ \ln(t_0 s)+\gamma \ ]$	$s > 0 \,$
$J_n( \omega t) \cdot u(t)$	$\frac{ \omega^n \left(s+\sqrt{s^2+ \omega^2}\right)^{-n}}{\sqrt{s^2 + \omega^2}}$	$s > 0 \,$ $(n > -1) \,$
$I_n(\omega t) \cdot u(t)$	$\frac{ \omega^n \left(s+\sqrt{s^2-\omega^2}\right)^{-n}}{\sqrt{s^2-\omega^2}}$	$s > \| \omega \| \,$
$Y_0(\alpha t) \cdot u(t)$
$K_0(\alpha t) \cdot u(t)$
${e^{s^2/4} \operatorname{erfc} \left(s/2\right) \over s}$	$s > 0 \,$