拉格朗日定理 (群論)

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關於本條目名稱之其他意思，詳見「拉格朗日定理」。

拉格朗日定理是群論的定理，利用陪集證明了子群的階一定是有限群的階的因數值。

[编辑] 定理

叙述：设H是有限群G的子群，则H的阶整除G的阶。

定理的证明是运用H在G中的左陪集。H在G中的每个左陪集都是一个等价类。将G作左陪集分解，由于每个等价类的元素个数都相等，都等于H的元素个数(H是H关于e的左陪集)，因此H的阶(元素个数)整除G的阶，商是H在G中的左陪集个数，叫做H对G的指数,记作 [G:H] 。

定义二元关系 $˜$ ： $a \sim b \Longleftrightarrow a^{-1}b \in H$ 。下面证明它是一个等价关系。

自反性： $\forall x \in G,~~x^{-1}x = e \in H ~~ \implies ~~ x \sim x$
对称性： $\forall x, y \in G,~~ x \sim y \implies x^{-1}y \in H$ ，因此 $y^{-1}x = (x^{-1}y )^{-1} \in H$ ，因此 $y \sim x \cdot$
传递性： $\forall x, y, z \in A, ~~~( x \sim y ~~ \wedge ~~ y \sim z) ~~\implies~~ x^{-1}y \in H \wedge y^{-1}z \in H$ ，因此 $x^{-1}z = x^{-1}y \cdot y^{-1}z \in H$ ，因此 $x \sim z \cdot$ 。