拓扑群
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数学上，一个拓扑群G是一个群也是一个拓扑空间，并且群乘法G × G → G和逆操作G → G都是连续映射。这里，G × G视为一个采用积拓扑的拓扑空间。虽然我们不在这里这样做，但是经常会要求G上的拓扑为豪斯多夫空间，也就是说该空间中的任何两点有不交的邻域。其原因和一些等价条件将在下面讨论。用范畴论的语言，可以说拓扑群是拓扑空间范畴中的群对象。
几乎所有数学分析中的对象都是（通常带有附加结构）的拓扑群。
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[编辑] 例子
每个群可以平凡地变成一个拓扑群，这是通过给它一个离散拓扑达成地；这样的群称为离散群。在这个意义下，拓扑群的理论包含了普通群的理论。
实数R，以及加法操作和它的普通拓扑构成一个拓扑群。更一般的，欧氏空间Rn连同加法和标准的拓扑构成拓扑群。更一般的，所有拓扑向量空间（譬如巴拿赫空间和希尔伯特空间）的加法群是拓扑群。
上面的例子都是阿贝尔群的例子。非交换群的例子有各种李群（是拓扑群也是流形）。例如，一般线性群GL(n,R)由所有可逆n×n实系数矩阵组成，可以视为拓扑群，其拓扑定义为将GL(n,R)作为欧氏空间Rn×n的子空间得到的子集拓扑。所有李群是局部紧的。
不是李群的拓扑群的一个例子是有理数Q其拓扑从实数继承。这是一个可数空间而它不是离散拓扑。对于一个非交换的例子，可以考虑R3的旋转群由绕不同轴作2π的无理数倍的两个旋转所生成的子群。
在每个带乘法单位元的巴拿赫代数中，可逆元素的集合构成一个乘法下的拓扑群。
[编辑] 性质
拓扑群的代数和拓扑结构以非平凡的方式互相影响。例如，在任何拓扑群中么元分量（也就是包含么元的连通分量）是一个闭正则子群。
拓扑群G上的逆操作给出了一个从G到其自身的同胚。同样，若a是G的任意元素，则a的左乘和右乘产生G → G的一个同胚。
每个拓扑群可以两种方式视为一个一致空间；左一致性将所有左乘变成一个一致连续映射，而右一致性将所有右乘变为一致连续映射。若G非交换，则这两个一致性并不相同。这个一致性结构使得在拓扑群上讨论完备性、一致连续、和一致收敛成为可能。
作为一个一致空间，每个拓扑群是一个完全正则空间。因而，若一个拓扑群是T0（也就是Kolmogorov），则它也是T2 (也即豪斯多夫空间)。
两个拓扑群之间的最自然的同态概念是一个连续的群同态。拓扑群，和作为态射的连续群同态一起，构成一个范畴。
每个拓扑群的子群本身也是一个拓扑群，只要取子集拓扑便可。若H是G的一个子群，所有左或右陪集G/H是一个拓扑空间，只要取商拓扑便可（G/H上使得自然投影q : G → G/H连续的最细拓扑)。可以证明商映射q : G → G/H总是开映射。
若H是一个G的正则子群，则因子群，G/H成为一个拓扑群，而从普通群理论来的同构定理在这个范围中也是成立的。但是，若H不是G的拓扑下的闭集，则G/H不是T0的，即使G是。因此很自然可以要求限制到只考虑T0拓扑群的范畴，并且限制定义中的正则到正则且闭。
若H是G的子群，则H的闭包也是一个子群。同样，若H是一个正则子群，则H的闭包也是正则的。
[编辑] 和数学其他领域的关系
对于调和分析有特殊重要性的是局部紧拓扑群，因为它们承认一个自然的测度和积分的概念，由哈尔测度给出。在很多方面，局部紧拓扑群是可数群的一个推广，而紧拓扑群可以视为有限群的一个推广。群表示理论对于有限群和紧拓扑群几乎是完全一样的。
