效用最大化

效用最大化问题，在经济学中，特别是微观经济学中是指消费者所面对的这样的问题，即“我应怎样花费我的钱以最大化我的效用？”

假设他们的消费集是有 $L$ 种商品的集合 $\mathbf{X}\subset \mathbb{R}^L_+$ 。如果这 $L$ 种商品的价格为 $\mathbf{p}\in \mathbb{R}^L_+$ ，该消费者的财富为 $w$ , 则所有可以负担的组合的集，即预算集为

$B(\mathbf{p}, w) = \{\mathbf{x} \in \mathbf{X}| \mathbf{p} \cdot \mathbf{x} \leq w\}$ 。

消费者希望买到其所能负担的最好的商品组合，若该消费者的效用函数为

$u : \mathbb{R}^L_+ \rightarrow \mathbb{R}$ ，

则该消费者的最优选择 $\mathbf{x}^*(\mathbf{p},w)$ 为

$\mathbf{x}^*(\mathbf{p}, w) = \arg\max_{\mathbf{x} \in B(\mathbf{p},w)} u(\mathbf{x})$ 。

求解 $\mathbf{x}^*(\mathbf{p},w)$ 就是这个效用最大化问题。针对不同的效用函数，求得的解不必是唯一的。

[编辑] 存在性

证明： $B(\mathbf{p},w)\subset\mathbb{R}^L_+$ 是一个紧性空间，因此若 $u$ 在此上是连续的，根据威尔斯特拉斯定理，意味着存在一点 $\mathbf{x}\in B(\mathbf{p}, w)$ 使得效用函数映射到其最大值。证毕。

如果消费者总是选取上面定义的最优组合，则 $\mathbf{x}^*(\mathbf{p},w)$ 被称为是马歇尔需求对应。如果其只存在唯一组合使其最大化，则被称为是马歇尔需求函数。这个效用最大化问题中的效用函数和马歇尔需求之间的关系也反映了支出最小化问题中支出函数和希克斯需求之间的关系。

在实际中，消费者可能不总是选择最优的组合。譬如，这可能要求消费者思考太多的问题。有限理性是一种理论，它用满意解决法解释了这类行为——选取次优的、但是够好的组合。

Mas-Colell, A., M. Whinston, and J. Green, 1995, Microeconomic Theory. Oxford: Oxford University Press. ISBN 0195073401