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数列

数列是一组按顺序排列的数，记为｛an｝，即a1, a2, a3, ……。称a1为数列的“第一项”，a2是“第二项”，等等。数列中数的总数为数列的“项数”，项数有限的数列为“有限数列”，项数无限的数列为“无限数列”。 特别地，数列是一种特殊的函数，它的自变量为自然数集或其子集。

目录

[编辑] 特殊数列

  • 等差数列：是一种特殊数列。数列中，从第二项起，每一项与前一项的差相等。
例如数列1,3,5,7,9,\cdots,9995,9997,9999,\cdots。
这就是一个等差数列，因为第二项与第一项的差和第三项与第二项的差相等，都等于2，9999与9997的差也等于2。我们把像2这样的后一项与前一项的差称之为公差，符号为d，但是d可为０。
  • 等比数列：是一种特殊数列。它的特点是：从第2项起，每一项与前一项的比都是一个常数。
例如数列2,4,8,16,32,\cdots,2^{197},2^{198},2^{199},\cdots。
这就是一个等比数列，因为第二项与第一项的比和第三项与第二项的比相等，都等于2，2198与2197的比也等于2。我们把像2这样的后一项与前一项的比称之为公比，符号为r。
斐波那契数列通项公式a_n=\frac{1}{\sqrt{5}}\left[\left({\frac{1+\sqrt{5}}{2}}\right)^n-\left({\frac{1-\sqrt{5}}{2}}\right)^n\right]

[编辑] 一般数列的通项求法

一般有：

  • 逐差全加（对于后一项与前一项差中含有未知数的数列）。
例如：数列{an}中，a1 = 1，an − an − 1 = 2n,求an。
  • 逐商全乘法（对于后一项与前一项商中含有未知数的数列）。
例如：数列{an}，a1 = 1，\frac{a_n}{a_{n-1}}=\frac{n}{n-1}，求an。
  • 化归法（将数列变形，使原数列的倒数或与某同一常数的和成等差或等比数列）。

[编辑] 特殊通项的写法

  1. 正负相间：利用( − 1)n或( − 1)n − 1.
  2. 隔项有零：利用\frac{1}{2} [(-1)^n+1]或\frac{1}{2} [(-1)^{n-1}+1]

[编辑] 数列的求和

  1. 利用等差和等比的求和公式。
  2. 1^2+2^2+3^2+...+n^2=\frac{1}{6} \cdot n \cdot (n+1) \cdot (2n+1)
  3. 1^3+2^3+3^3+...+n^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}
  4. n个aaa……a=a/9[10n-1],a∈Z.(a属于整数)。
  5. 利用通项列项求和。
  6. 错项相减法：适用于通项为等比和等差通项之积形式的数列求和。
  7. 倒序相加法：例如等差数列求和公式的推导。
  8. 配对法：适合某些正负相间型的数列。
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