方块矩阵

方塊矩陣，或简称方阵，是行數及列數皆相同的矩陣。由n×n矩陣組成的集合，連同矩陣加法和矩陣乘法，构成環。 除了 n = 1，此環並不是交换環。

M(n, R)，即實方塊矩陣環，是個實單式結合代數。M(n, C)，即複方塊矩陣環，則是複結合代數。

單位矩陣 I_n 的對角線全是 1 而其他位置全是 0，對所有 m×n 矩陣 M 及 n×k 矩陣 N 都有 MI_n=M 及 I_nN=N。 例如，若 n = 3：

單位矩陣是方塊矩陣環的單位元。

方塊矩陣環的可逆元稱為可逆矩陣或非奇異矩陣。 n×n 矩陣 A 是可逆當且僅當存在矩陣 B 使得

AB = I_n ( = BA)。

此時 B 稱為 A 的逆矩陣,記作 A⁻¹。 所有 n×n 矩陣在乘法上組成一個群（亦是一個李群），稱為一般綫性群。

若數字 λ 和非零向量 v 满足 Av = λv，則 v 為 A 的一個特征向量，λ 是其對應的特征值。數字 λ 為 A 的特征值當且僅當 A−λI_n 可逆，又當且僅當 p_A(λ) = 0。 這裏，p_A(x) 是 A 的特征多項式。特征多項式是一個 n 次多項式，有 n 个复根（考虑重根），即 A 有 n 個特征值。

方塊矩陣 A 的行列式是其 n 個特征值的積, 但亦可經由Leibniz formula計算出來。可逆矩陣正好是那些行列式非零的矩陣.

高斯-若爾當消元法非常重要，可以用来計算矩阵的行例式，秩，逆矩陣，并解決綫性方程組。

距陣迹是 n×n 距陣的对角线元素之和，也是其 n 個特征值之和。

所有正交矩阵都是方块矩阵。

[编辑] 方块矩阵的等价命题

线性代数中，下列关于方块矩阵 A 的命题是等价的（同时成立，或同时不成立）：

1. A 可逆。
2. det(A) ≠ 0.
3. rank(A) = n.
4. nullity(A) = 0.
5. A 的特征值中没有 0。
6. 对任意 b 属于 Fⁿ，Ax = b 有唯一解。
7. Ax = 0 只有平凡解。
8. A^TA 可逆。
9. A 与单位矩阵行（列）等价。
10. The rows and columns of A span Fⁿ.
11. A 的空空间只有零向量。
12. The range of A is Fⁿ.
13. A 的行（列）向量构成 Fⁿ (Fⁿ) 中向量的线性无关集。

这里，F 为矩阵元素所属的域。通常，这个域为实数域或复数域。