施瓦茨-克里斯托费尔映射

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在数学的複分析中，施瓦茨—克里斯托费尔(Schwarz-Christoffel)映射是複平面的变换，把上半平面共形地映射到一個多边形。施瓦茨—克里斯托费尔映射用在位势论和其应用，包括极小曲面和流体力学。名字取自埃尔温·布鲁诺·克里斯托费尔和赫尔曼·阿曼杜斯·施瓦茨。

[编辑] 定义

考虑複平面上一個多边形。黎曼映射定理指出存在一个一一对应解析映射f从上半平面

$\{ \zeta \in \mathbb{C}: \operatorname{Im}\,\zeta > 0 \}$

到多边形的內部。函数f把实数轴映射到多边形的邊。若多边形内角为 $α,β,γ,...$ ，那么映射由下式给出：

$f(\zeta) = \int^\zeta \frac{K}{(w-a)^{1-(\alpha/\pi)}(w-b)^{1-(\beta/\pi)}(w-c)^{1-(\gamma/\pi)} \cdots} \,\mbox{d}w$ ，

其中 $K$ 是常数， $a < b < c < ...$ 是 $ζ$ 平面的实轴上的点的值，对应 $z$ 平面上的多边形的顶点。这形式的变换称为施瓦茨—克里斯托费尔映射。

为了简便，通常会考虑一种特殊情況，就是当 $ζ$ 平面的无穷远点映射到 $z$ 平面的多边形其中一顶点（习惯是内角为 $α$ 的顶点）。如此，公式的第一个因式实际上是个常数，可以合併进 $K$ 裡。

[编辑] 例子

考虑 $z$ 平面中的半无穷带。这可以视作顶点是 $P = 0$ , $Q = π i$ 和 $R$ 的三角形，当 $R$ 趋向无穷大的极限情形。极限时有 $α = 0$ 和 $β = γ = π / 2$ 。假设我们要找映射f，有f(−1) = Q，f(1) = P，和f(∞) = R，那么f是

$f(\zeta) = \int^\zeta \frac{K}{(w-1)^{1/2}(w+1)^{1/2}} \,\mbox{d}w \,$ 。

计算积分得到

$z = f(\zeta) = C + K \operatorname{arccosh}\,\zeta,$

其中 $C$ 是个（複）积分常数。条件 $f ( - 1) = Q$ 和 $f (1) = P$ 给出 $C = 0$ 和 $K = 1$ 。因此施瓦茨—克里斯托费尔积分是 $z = \operatorname{arccosh}\,\zeta$ 。下图描绘这个映射。

从上半平面到半无穷带的施瓦茨—克里斯托费尔映射

[编辑] 其它简单映射

[编辑] 三角形

到内角为 $π a$ ， $π b$ 和 $π(1 - a - b)$ 的三角形的映射是

$z=f(\zeta)=\int^\zeta \frac{dw}{(w-1)^{1-a} (w+1)^{1-b}}$ 。

[编辑] 正方形

从上半平面到正方形的映射是

$z=f(\zeta) = \int^\zeta \frac {\mbox{d}w}{\sqrt{w(w^2-1)}} =\sqrt{2} \, F\left(\sqrt{\zeta+1};\sqrt{2}/2\right)$ ，

其中 $F$ 是第一类不完全椭圆积分。

[编辑] 广义三角形

施瓦茨三角形映射把上半平面映射到其边是圆弧的三角形。

[编辑] 参看

在施瓦茨—克里斯托费尔理论中出现的施瓦茨导数。

[编辑] 参考

Tobin A. Driscoll and Lloyd N. Trefethen, Schwarz-Christoffel Mapping, Cambridge University Press, 2002. ISBN 0521807263.

Z. Nehari, Conformal Mapping, (1952) McGraw-Hill, New York.

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