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时不变系统

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3个分类: 需要校對的頁面 | 控制理论 | 信号处理

时不变系统正在校对翻译。
歡迎您積極參與校對與修訂，原文在en:Time-invariant system。

时不变系统是输出不显式地依赖于时间变化的系统。

如果输入信号l

x (t)

产生输出

y (t)

那么对于任意变化时间的输入

x (t + δ)

将得到一个时间变化的输出

y (t + δ)

如果系统的传递函数除了输入和输出之外不是时间的函数那么就可以满足这个特性。这个特性也可以用示意图的术语进行描述

如果一个系统是时不变的，那么系统框图与任意延时时刻的框图都是可以互换的。

目录

1 简单例子
2 正式例子
3 抽象例子
4 参见

[编辑] 简单例子

为了表明如何确定系统是时不变系统，我们来看两个系统：

系统 A: $y(t) = t\, x(t)$
系统 B: $y(t) = 10\cdot x(t)$

由于系统 A 除了 $x (t)$ 与 $y (t)$ 之外还显式地依赖于 t 所以它是时变系统，而系统 B 没有显式地依赖于时间 t 所以它是时不变的。

[编辑] 正式例子

下面将给出系统 A 和 B 更加正式的证明。为了完成这个证明，我们需要使用第二个定义。

系统 A:

使用延时的信号作为输入 $x_d(t) = \,\!x(t + \delta)$

$y(t) = t\, x_d(t)$

$y_1(t) = t\, x_d(t) = t\, x(t + \delta)$

那么输出延时

δ

$y(t) = t\, x_d(t)$

$y_2(t) = \,\!y(t + \delta) = (t + \delta) x(t + \delta)$

很显然 $y_1(t) \,\!\ne y_2(t)$ , 所以系统不是时不变系统。

系统 B:

以延时的信号作为输入 $x_d(t) = \,\!x(t + \delta)$

$y(t) = 10 \, x_d(t)$

$y_1(t) = 10 \,x_d(t) = 10 \,x(t + \delta)$

现在输出延时 $\,\!\delta$

$y(t) = 10 \,x_d(t)$

$y_2(t) = y(t + \delta) = 10 \,x(t + \delta)$

显然 $y_1(t) = \,\!y_2(t)$ , 所以系统是时不变的。尽管有其它方法可以证明这一点，但这是最容易的方法。

[编辑] 抽象例子

我们用 $\mathbb{T}_r$ 表示移位算子，其中 $r$ 是矢量变址组（index set）需要移位的数值，例如“前进 1 步”的系统

$x(t+1) = \,\!\delta(t+1) * x(t)$

可以用这个抽象表示

$\tilde{x}_1 = \mathbb{T}_1 \, \tilde{x}$

其中 $\tilde{x}$ 是

$\tilde{x} = x(t) \, \forall \, t \in \mathbb{R}$

以及产生系统移位输出

$\tilde{x}_1 = x(t + 1) \, \forall \, t \in \mathbb{R}$

所定义的函数，这样 $\mathbb{T}_1$ 就是输入矢量增加 1 的算子。

假设我们用算子 $\mathbb{H}$ 表示一个系统，如果系统与移位算子是可交换的，那么它就是时不变的，例如

$\mathbb{T}_r \, \mathbb{H} = \mathbb{H} \, \mathbb{T}_r \,\, \forall \, r$

如果系统方程是

$\tilde{y} = \mathbb{H} \, \tilde{x}$

并且如果我们可以将系统算子 $\mathbb{H}$ 首先对 $\tilde{x}$ 进行运算，然后再用移位算子 $\mathbb{T}_r$ 进行运算，或者首先用移位算子 $\mathbb{T}_r$ ，然后再用系统算子 $\mathbb{H}$ 进行运算，并且这两种方法的结果等价，那么系统就是时不变的。

首先用系统算子进行运算将得到

$\mathbb{T}_r \, \mathbb{H} \, \tilde{x} = \mathbb{T}_r \, \tilde{y} = \tilde{y}_r$

首先用移位算子将得到

$\mathbb{H} \, \mathbb{T}_r \, \tilde{x} = \mathbb{H} \, \tilde{x}_r$

如果系统是时不变的，那么

$\mathbb{H} \, \tilde{x}_r = \tilde{y}_r$

[编辑] 参见

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