最小上界

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在数学中，给定有序集合 T 的子集 S ，S 的上确界(supremum, Suprema)是大于或等于 S 的每个元素的 T 的最小元素。因此上确界也被称为最小上界、lub 或 LUB。最小上界属于 S 与否皆可。如果 S 包含最大元素，则这个元素就是上确界；如果不是，则上确界不属于 S，参见 ^[1], page 4。

上确界还经常在实数、有理数或能够立即清楚一个元素大于或等于另一个元素是什么意思的任何其他周知的数学结构的子集上考虑。这个定义很容易推广到更加抽象的序理论的任意的偏序集合上。

上确界一定不能混淆于极小上界，或极大元或最大元。

目录 1 实数集合的上确界 1.1 例子 2 偏序集合内的上确界 3 引用 4 外部链接 5 参见

[编辑] 实数集合的上确界

在数学分析中，实数的集合 S 的上确界或最小上界指示为 sup(S)，并被定义为大于或等于 S 中所有成员的最小实数。实数的一个重要性质是它的完备性: 实数集合的所有非空子集是有上界的就有是这个实数集合成员的上确界。

[编辑] 例子

这个有理数的集合的上确界是个无理数，这意味着有理数是不完备的。

此外，如果我们定义在 S 是空集的时候 sup(S) = −∞ 和在 S 没有上界的时候 sup(S) = +∞ ，则实数的所有集合都在扩展的实数轴上有上确界。

如果上确界属于这个集合，则它是这个集合的最大元素。术语极大元在处理实数或任何其他全序集合的时候是同义的。

要证明 a = sup(S)，你必须证明 a 是 S 的上界并且 S 的任何其他上界大于 a。等价的说，你还可以证明 a 是 S 的上界并且小于 a 的任何数都不是 S 的上界。

[编辑] 偏序集合内的上确界

最小上界是序理论的重要概念，在这里它也叫做并(join)(特别是在格理论中)。同于上面处理的特殊情况，给定集合的上确界就是它的上界的集合的最小元素，假设这个元素存在的话。

形式的说，我们有: 对于任意偏序集合 (P, ≤) 的子集 S，S 的上确界或最小上界是 P 中的元素 u 使得

1. 对于所有 S 中的 x 有 x ≤ u，
2. 对于任何 P 中的 v，如果对于所有 S 中的 x 有 x ≤ v，则 u ≤ v。

容易证明，如果 S 有上确界，则上确界是唯一的: 如果 u₁ 和 u₂ 都是 S 的上确界，则可得出 u₁ ≤ u₂ 且 u₂ ≤ u₁，因为 ≤ 是反对称的，你可以得出 u₁ = u₂。上确界的对偶概念最大下界叫做下确界或交。

如果集合 S 的上确界存在，它可以被指示为 sup(S)，或者更加通用于序理论的 S。类似的，下确界被指示为 inf(S) 或 S。

偏序集合的子集可能没有上确界，即使它有上界。

[编辑] 引用

1. ↑ Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis, Third Edition, McGraw-Hill, 1976

[编辑] 外部链接

• supremum (PlanetMath)

[编辑] 参见

• 偏序集
• 上界
• 最小元
• 最大下界