最小上界公理

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最小上界公理也简写为 LUB 公理是实分析的公理。在不能在实分析系统内证明的意义上它是一个公理。但是，像其他经典数学领域的公理一样，它可以从作为外部系统的 Zermelo-Fraenkel 集合论证明。这个公理声称如果实数的非空子集有上界，则它有最小上界。这个公理非常有用，因为它是证明实数轴是完备度量空间的根本。有理数轴不满足 LUB 公理而因此不是完备的。一个理想的例子是 $S = \{ x\in \mathbb{Q}|x^2 < 2\}$ 。2 当然是这个集合的上界。但是这个集合没有最小上界 — 对于任何 $x \in S$ ，我们可以找到 $y \in S$ 有着 $y > x \$ 。

[编辑] 实数轴是完备的的证明

设 $\{ s_n\}_{n\in\N}$ 是柯西序列。设 S 是只对有限多个 $n\in\N$ 大于 $s n$ 的实数集合。设 $\varepsilon\in\R ^+$ 。设 $N\in\N$ 使得 $\forall n,m\ge N$ $|s_n-s_m|<\varepsilon$ 。所以，这个序列经过区间 $(s_N-\varepsilon ,s_N+\varepsilon )$ 无限多次并经过它的补最多有限多次。这意味着 $s_N-\varepsilon\in S$ 并因此 $S\not=\emptyset$ 。明显的 $s_N+\varepsilon$ 是 S 的上界。通过 LUB 公理，设 b 是最小上界。解析失败 (不能写入或创建math输出目录): s_N-\varepsilon\le b\le s_n+\varepsilon 。通过三角不等式， $d(s_n,b)\le d(s_n,s_N)+d(s_N,b)\le\varepsilon +\varepsilon =2\varepsilon$ 。所以 $s_n\longrightarrow b$ 并因此 $\R$ 是完备的。Q.E.D.