有序域

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在数学的一个分支代数中，有序域是一个偏序关系通过加法和乘法运算不被改变的域。最常见的有序域的例子是实数。

目录 1 定义 2 特性 3 结构 4 例子

[编辑] 定义

一个满足下面两个条件的、拥有偏序关系的域被定义为有序域：对于任何K中的元素a、b和c以下两个条件获得满足：

• 则
• 和则

大于0的元素被称为是正的，小于0的元素被称为是负的。

[编辑] 特性

由以上定义可以直接推导出以下特性（a、b、c、d是K的元素）：

• 一个正的元素的负数是负的，一个负的元素的负数是正的：即任何K中的a，假如则 − a < 0 < a或a < 0 < − a。
• 不等式可以相加：a <= b和c <= d则a + c <= b + d。
• 不等式可以与正元素相乘：a <= b和0 <= c则ac <= bc。
• 平方数不是负的：0 <= a²，尤其0 < 1。
• 通过数学归纳法可以推导出任何一的有限的和是正的：0 < 1+1+...+1。

[编辑] 结构

所有有序域都具有特征数0。这个结论直接出于上述的最后一个特性0 < 1+1+...+1。

每个有序域的部分域也是有序域。如同任何含特征数0的域其最小的域与有理数同等，这个部分域的排序与一致。

假如一个有序域中的任何元素都位于两个有理数之间的话，则该域具有阿基米德性质。比如实数是具有阿基米德性质的，而超实数则不具有。

有序域K的排序说明K的拓扑空间，这个拓扑空间是由和形成的。加法和乘法运算相对于这个拓扑空间是连续的。

[编辑] 例子

• 有理数组成最小的有序域
• 实数和其中的任何部分域
• 超实数