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有界格

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1个分类: 格理论

设 $(L, \vee, \wedge)$ 是一个格，若存在 $a \in L$ ，使得对于所有的 $x \in L$ 有 $a \leq x$ ，则称 $a$ 为 $L$ 的全下界；若存在 $b \in L$ ，使得对于所有的 $x \in L$ 有 $x \leq b$ ，则称 $b$ 为 $L$ 的全上界。

可以证明，若格 $L$ 存在全上界或全下界，一定是唯一的。一般将格的全上界记作 1，全下界记作 0。(注意这里的 0,1 只是两个特殊的符号，和自然数 0,1 不同)

设 $(L, \vee, \wedge)$ 是一个格，若 $L$ 存在全上界和全下界，则称 $L$ 为有界格，记作 $(L, \vee, \wedge, 0, 1)$ 。

设 $(L, \vee, \wedge, 0, 1)$ 是一个有界格，则对于所有的 $a \in L$ ，有

$a \vee 0 = a$

$a \wedge 0 = 0$

$a \vee 1 = 1$

$a \wedge 1 = a$

[编辑] 参见

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