李代數

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数学上，李代数是一个代数结构，主要用于研究象李群和微分流形之类的几何对象。李代数因研究无穷小变换的概念而引入。"李代数"(以索甫斯·李Sophus Lie命名)一词是由赫尔曼·魏尔在1930年代引入的。在旧文献中，无穷小群指的就是李代数。

[编辑] 定义

李代數是一種域代數;在一些F域內的向量空間g,其二元運算是: g × g → g, 稱為李括號,符合以下條件:

雙線性:

∀ a, b ∈ F,∀x, y, z ∈ g.

$[a x + b y, z] = a [x, z] + b [y, z], \quad [z, a x + b y] = a[z, x] + b [z, y]$

∀ x ∈ g

$[x,x]=0 \quad$

雅可比恒等式:

∀ x, y, z ∈ g

$[x,[y,z]] + [y,[z,x]] + [z,[x,y]] = 0 \quad$

首兩個條件暗示:

[x, y] = - [y, x]

∀ x, y ∈ g ("反對稱")。反之，這個反對稱暗示條件2 (F不是特徵代數 2)。

用李括號表達的乘法不一定符合結合律。即 $[[x, y], z]$ 與 $[x,[y, z]]$ 不一定相等. 因此李代數通常並非環或結合代數。

[编辑] 例子

1. 如果我们定义李括号等于0，则每个向量空间自然成为一个平凡的交换李代数。

2. 欧氏空间 R³ 是一个李代数，如果选李括号为向量的叉乘。

3. 若一个结合代数A给定乘法*，它可以通过定义[x, y] = x * y − y * x而成为李代数。这个表达式称为x和y的换位子(commutator)。相反的，每个李代数可以嵌入到一个以这个方式从结合代数得到的李代数中。参看万有包络代数(universal enveloping algebra)。

4. 另一个李代数的重要例子来自于微分几何：可微流形上的光滑向量场在把李导数作为李括号的时候成为一个无穷维李代数。李导数把向量场X等同为作用在任何光滑标量场f上的偏微分算子，这是通过令X(f)为f在X方向的方向导数达成的。这样，在表达式(YX)(f)中,并列YX表示偏微分算子的复合。然后，李括号[X, Y]定义为

[X, Y] f = (XY − YX) f

对于流形上的每个光滑函数f。

这是流形的微分同胚集合构成的无穷维李群的李代数。

5. 李群的左不变向量场组成的向量空间在李括号这个操作下是闭的，因而是一个有限维李代数。或者，可以把属于一个李群的李代数的向量空间看成是该群的幺元的切空间。乘法就是群在幺元的微分的换位子，(a,b) $\mapsto$ aba⁻¹b⁻¹。

6. 作为一个具体的例子，考虑李群SL(n,R)，所有实系数行列式为1的n-乘-n矩阵。单位矩阵的切空间可以和所有迹为0的实n-乘-n矩阵等同起来，其来自于李群的李代数结构和来自矩阵乘法的交换子的相同。

更多李群和它们相应的李代数，请参看李群条目。

[编辑] 同态，子代数，和理想

在同样基域F上的李代数g和h之间的一个同态 φ : g → h是一个F-线性映射，使得对于所有g中的x和y有[φ(x), φ(y)] = φ([x, y]) 。这样的同态的复合也是同态，而域F上的李代数,和这些态射一起，组成了一个范畴。如果一个同态是双射，它称为同构，而两个李代数g和h称为同构的。对于所有的应用目的，同构的李代数是相同的。

李代数g的一个子代数是g的一个线性子空间h使得[x, y] ∈ h对于所有x, y ∈ h成立。则这个子代数自身是一个李代数。

李代数g的理想是g的一个子空间h,使得[a, y] ∈ h 对于所有a ∈ g 和y ∈ h成立。所有理想都是子代数。若h是g的一个理想，则商空间g/h成为一个李代数，这是通过定义[x + h, y + h] = [x, y] + h为对于所有x, y ∈ g成立。理想刚好就是同态的核，而同态基本定理对于李代数是适用的。

[编辑] 李代数的分类

实和复李代数可以分类到某种程度，而这个分类是李群分类的重要一步。每个有限维实或复李代数作为一个唯一的实或复简单连通李群的李代数出现(Ado定理),但是可能有一个以上的群，甚至一个以上的连通群，有这个相同的李代数。例如，群SO(3) (行列式值为1的3×3正交群)和SU(2) (行列式为1的2×2酉矩阵)有相同的李代数，就是R³，以叉乘为李括号。

李代数是交换的,如果李括号为0，也就是[x, y] = 0 对于所有x和y。更一般的，一个李代数g是零幂(nilpotent)的，如果低中心序列(lower central series)

g > [g, g] > [[g, g], g] > [[[g, g], g], g] > ...

最终为0。按照Engel定理，李代数零幂当且仅当对每个g中的u映射

ad(u): g → g

定义为

ad(u)(v) = [u,v]

是零幂的。更一般的，李代数g是"可解"的若导序列(derived series)

g > [g, g] > [[g, g], [g,g]] > [[[g, g], [g,g]],[[g, g], [g,g]]] > ...

最终成为0。极大可解子代数成为波莱尔子代数。

李代数g称为"准简单" 如果'g唯一的可解理想是平凡的。等价的, g是准简单的当且仅当Killing形式K(u,v) = tr(ad(u)ad(v)) 是非退化的；这里tr表示迹操作。当域F的特征数为0，g准简单当且仅当每个表示都是完全可约的，也就是对于每个表示的不变子空间，有一个不变的补(魏尔定理(Weyl's theorem)).

李代数是"简单"的，如果它没有非平凡理想并且非交换。特别的有，一个简单李代数是准简单的，更一般的，准简单李代数是简单李代数的直和。

准简单复李代数通过它们的根系统分类。

[编辑] 范畴理论定义

使用范畴论的语言,一个李代数可以定义为向量空间范畴中的一个对象A和一个态射 $[\cdot, \cdot]: A \otimes A \to A$ 使得

$[\cdot, \cdot] \circ (\mathrm{id} + \tau_{A,A}) = 0$
$[\cdot, \cdot] \circ ([\cdot, \cdot] \otimes \mathrm{id}) \circ (\mathrm{id} + \sigma + \sigma^2) = 0$

其中 $\tau(a \otimes b) := b \otimes a$ 而σ 是复合 $(\mathrm{id} \otimes \tau_{A,A})\circ(\tau_{A,A} \otimes \mathrm{id})$ 的循环枚举. 用交换图形式:

[编辑] 參看

[编辑] 参考

Humphreys, James E. Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, Second printing, revised. Graduate Texts in Mathematics, 9. Springer-Verlag, New York, 1978. ISBN 0-387-90053-5
Jacobson, Nathan, Lie algebras, Republication of the 1962 original. Dover Publications, Inc., New York, 1979. ISBN 0-486-63832-4

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