李普希茨條件

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在數學中，特別是實分析，李普希茨條件（Lipschitz condition）限制了函數改變的速度。符合李普希茨條件的函數的斜率，必小於一個稱為李普希茨常數的實數（該常數依函數而定）。

在微分方程，李普希茨條件確保了初值問題存在唯一解。（Picard-Lindelöf定理）

[编辑] 定義

對於在實數集的子集的函數 $f \colon D \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ ，若存在常數 $K$ ，使得 $|f(a)-f(b)| \le K|a-b| \forall a,b \in D$ ，則稱 $f$ 符合李普希茨條件，對於 $f$ 最小的常數 $K$ 稱為 $f$ 的李普希茨常數。

若 $K < 1$ ， $f$ 稱為收縮映射。

李普希茨條件也可對任意度量空間的函數定義：

給定兩個度量空間 $(M, d M),(N, d N)$ ， $U \subseteq M$ 。若對於函數 $f : U \to N$ ，存在常數 $K$ 使得

$d_N(f(a), f(b)) \le K d_M(a,b) \quad \forall a,b \in U$

則說它符合李普希茨條件。

若存在 $K \ge 1$ 使得

$\frac{1}{K} d_M(a,b) \le d_N(f(a), f(b)) \le K d_M(a, b) \quad \forall a,b \in U$

則稱 $f$ 為bi-Lipschitz的。

[编辑] Picard-Lindelöf定理

若已知 $y (t)$ 有界， $f$ 符合李普希茨條件，則微分方程初值問題 $y'(t) = f(t,y(t)),\quad y(t_0)=y_0$ 剛好有一個解。

在應用上， $t$ 通常屬於一有界閉區間（如 $[0,2π]$ ）。於是 $y (t)$ 必有界，故 $y$ 有唯一解。

[编辑] 例子

$f:[-3,7] \to \mathbb{R},\quad f(x)=x^2$ 符合李普希茨條件， $K = 14$ 。
$f:\mathbb{R} \to \mathbb{R},\quad f(x)=x^2$ 不符合李普希茨條件，當 $x \to \infty , \quad f'(x) \to \infty$ 。
定義在所有實數值的 $f(x)=\sqrt{x^2+5}$ 符合李普希茨條件， $K = 1$ 。
$f (x) = | x |$ 符合李普希茨條件， $K = 1$ 。由此可見符合李普希茨條件的函數未必可微。
$f: [0,1] \to [0,1], \quad f(x)=\sqrt{x}$ 不符李普希茨條件， $x \to 0, \quad f'(x) \to infty$ 。不過，它符合Hölder條件。
若且唯若處處可微函數f的一次導函數有界，f符李普希茨條件。這是中值定理的結果。所有 $C 1$ 函數都是局部李普希茨的，因為局部緊緻空間的連續函數必定有界。

[编辑] 性質

符合李普希茨條件的函數一致連續，也連續。
bi-Lipschitz函數是單射的。
Rademacher定理：若 $A \subseteq \mathbb{R}^n$ 且 $A$ 為開集，f : A \to \mathbb{R}^n符李普希茨條件，則f幾乎處處可微。^[1]
Kirszbraun定理：給定兩個希爾伯特空間 $H 1, H 2$ ， $U \in H_1$ ， $f: U \to H_1$ 符合李普希茨條件，則存在符合李普希茨條件的 $F: H_1 \to H_2$ ，使得 $F$ 的李普希茨常數和 $f$ 的相同，且 $F(x)=f(x) \quad \forall x \in U$ 。^[2]^[3]

[编辑] 參考

↑ Juha Heinonen, Lectures on Lipschitz Analysis, Lectures at the 14th Jyväskylä Summer School in August 2004. （第18頁以後）
↑ M. D. Kirszbraun. Uber die zusammenziehenden und Lipschitzchen Transformationen. Fund. Math., (22):77–108, 1934.
↑ J.T. Schwartz. Nonlinear functional analysis. Gordon and Breach Science Publishers, New York, 1969.

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