格 (数学)

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2个分类: 抽象代数 | 次序论

其他关于“格”的解释参看格。

术语格(lattice)来源于描述这种次序的哈斯图的形状。

格是常见的代数结构之一。

[编辑] 格的定义

设 $(L, \leq)$ 是一个偏序集，若对于任意的 $x, y \in L$ ， ${x, y}$ 都有最小上界和最大下界，则称 $(L, \leq)$ 构成一个格。

由于最小上界和最大下界的唯一性，可以把 ${x, y}$ 的最小上界和最大下界看成是 $x,$ 的二元运算，分别用 $\vee$ 和 $\wedge$ 表示，即 $x \vee y$ 表示 $x$ 和 $y$ 的最小上界， $x \wedge y$ 表示 $x$ 和 $y$ 的最大下界。

另一种定义格的方式是将格定义为一种代数结构。一个格是一个代数结构 $(L, \vee, \wedge)$ ，其中 $\vee$ 和 $\wedge$ 是定义在集合 $L$ 上的二元运算，且对于所有的 $a, b, c \in L$ 满足：

幂等律：
$a \vee a = a$		$a \wedge a = a$
交换律：
$a \vee b = b \vee a$		$a \wedge b = b \wedge a$
结合律：
$a \vee (b \vee c) = (a \vee b) \vee c$		$a \wedge (b \wedge c) = (a \wedge b) \wedge c$
吸收律：
$a \vee (a \wedge b) = a$		$a \wedge (a \vee b) = a$

对于 $a, b \in S$ ，定义 $a \leq b$ 当且仅当 $a \vee b = b$

易见通过偏序集和代数结构这两种方式定义格是完全等价的。

相对于半格，通常也把格称为完全格。

[编辑] 格的例子

设 $n$ 是正整数， $S n$ 是 $n$ 的正因子集合， $D$ 为整除关系，则偏序集 $(S n, D)$ 构成格。对于所有 $x, y \in S_n$ ， $x \vee y$ 是 $x$ 与 $y$ 的最小公倍数， $x \wedge y$ 是 $x$ 与 $y$ 的最大公约数。

[编辑] 格的对偶原理

设 $f$ 是含有格中的元素以及符号 $=, \leq, \geq, \vee, \wedge$ 的逻辑命题，令 $f *$ 是将 $f$ 中的 $\leq$ 替换为 $\geq$ ，将 $\geq$ 替换为 $\leq$ ，将 $\vee$ 替换为 $\wedge$ ，将 $\wedge$ 替换为 $\vee$ 后所得到的命题。则称 $f *$ 是 $f$ 的对偶命题。

设 $f$ 是含有格中的元素以及符号 $=, \leq, \geq, \vee, \wedge$ 的逻辑命题，若 $f$ 对于一切格为真，则 $f$ 的对偶命题 $f *$ 也对于一切格为真。

[编辑] 子格

设 $(L, \vee, \wedge)$ 是格， $S$ 是 $L$ 的非空子集，若 $(S, \vee, \wedge)$ 仍然是一个格，则称 $S$ 是 $L$ 的子格。

[编辑] 格的同态定理

设 $(L_1, \vee_1, \wedge_1)$ 和 $(L_2, \vee_2, \wedge_2)$ 是格， $f$ 是从 $L 1$ 到 $L 2$ 的映射，

若 $f$ 是同态映射，则 $f$ 是保序映射，即 $\forall x, y \in L_1$ ，有 $x \leq_1 y => f(x) \leq_2 f(y)$
若 $f$ 是双射，则 $f$ 是同构映射当且仅当 $\forall x, y \in L_1$ ，有 $x \leq_1 y <=> f(x) \leq_2 f(y)$