概率公理

概率公理（Probability Axioms），因其发明者为安德烈·柯尔莫果洛夫，也被人们熟知为柯尔莫果洛夫公理 。

某个事件 $E$ 的概率 $P (E)$ 是定义在“全体”(universe)或者所有可能基础事件的样本空间 $Ω$ 时，概率 $P$ 必须满足以下柯尔莫果洛夫公理。

也可以说，概率可以被解释为定义在样本空间的子集的西格马代数( $σ$ -Algebra)上的一个测度，那些子集为事件，使得所有集的测度为 $1$ 。这个性质很重要，因为这提出了条件概率的自然概念。对于每一个非零概率A都可以在空间上定义另外一个概率：

$P(B \vert A) = {P(B \cap A) \over P(A)}$

这通常被读作“给定A时B的概率”。如果给定A时B的条件概率与B的概率相同，则A与B被称为是独立的。

当样本空间是有限或者可数无限时，概率函数也可以以基本事件 ${e 1},{e 2},...$ 定义它的值，这里 $Ω = {e 1, e 2,...}$ 。

[编辑] 柯尔莫果洛夫公理

假设我们有一个基础集 $Ω$ ，其子集 $\mathfrak{F}$ 为西格马代数，和一个给 $\mathfrak{F}$ 的要素指定一个实数的函数 $P$ 。 $\mathfrak{F}$ 的要素是 $Ω$ 的子集，称为“事件”。

对于任意一个集合， 即对于任意的事件。

即，任一事件的概率都可以用 $0$ 到 $1$ 区间上的一个实数来表示。

$P(\Omega) = 1.\,$

即，整体样本集合中的某个基本事件发生的概率为1。更加明确地说，在样本集合之外已经不存在基本事件了。

这在一些错误的概率计算中经常被小看；如果你不能准确地定义整个样本集合，那么任意子集的概率也不可能被定义。

任意两两不相交事件 $E 1, E 2,...$ 的可数序列满足 $P(E_1 \cup E_2 \cup \cdots) = \sum P(E_i)$ 。

即, 不相交子集的并的事件集合的概率为那些子集的概率的和。这也被称为是σ可加性。如果存在子集间的重叠，这一关系不成立。

如想通过代数了解柯尔莫果洛夫的方法, 请参照随机变量代数.

从柯尔莫果洛夫公理可以推导出另外一些对计算概率有用的法则。

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B).\,$

$P(\Omega - E) = 1 - P(E).\,$

$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B \vert A).\,$

这一关系给出了贝叶斯定理。以此可以得出A和B是独立的当且仅当

$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B).\,$