欧几里德几何

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欧几里德

欧几里德几何指按照欧几里德的《几何原本》构造的几何学。

欧几里德几何有时就指平面上的几何，即平面几何。本文主要描述平面几何。三维空间的欧几里德几何通常叫做立体几何。高维的情形请参看欧几里德空间。

数学上，欧几里德几何是平面和三维空间中常见的几何，基于点线面假设。数学家也用这一术语表示具有相似性质的高维几何。

其中公設五又稱之為平行公設（Parallel Axiom），敘述比較複雜，這個公設衍生出「三內角和等於一百八十度」的定理。在高斯（F. Gauss, 1777年—1855年）的時代，公設五就備受質疑，俄羅斯數學家羅巴切夫斯基（Ivanovitch Lobachevski）、匈牙利人波約（Bolyai）證明第五公設是錯誤的，也就是「三內角和不一定等於一百八十度」，從而發現非歐幾里德的幾何學，即「非歐幾何」（non-Euclidean geometry）。

[编辑] 公理描述

歐幾里得證明的要素，由於一個正三角形的存在必須包含每個線段，包含ΑΒΓ等邊三角形的構成，是由Α和Β兩點，畫出圓Δ與圓Ε，並且交叉於第三點Γ上。

欧几里德几何的传统描述是一个公理系统，通过有限的公理来证明所有的“真命题”。

欧几里德几何的五条公理是：

任意两个点可以通过一条直线连接。
任意线段能无限延伸成一条直线。
给定任意线段，可以以其一个端点作为圆心，该线段作为半径作一个圆。
所有直角都全等。
若两条直线都与第三条直线相交，并且在同一边的内角之和小于两个直角，则这两条直线在这一边必定相交。

第五条公理称为平行公理，可以导出下述命题：

通过一个不在直线上的点，有且仅有一条不与该直线相交的直线。

平行公理并不像其他公理那么显然。许多几何学家尝试用其他公理来证明这条公理，但都没有成功。19世纪，通过构造非欧几里德几何，说明平行公理是不能被证明的。（若从上述公理体系中去掉平行公理，则可以得到更一般的几何，即绝对几何。）

从另一方面讲，欧几里德几何的五条公理并不完备。例如，该几何中的有定理：任意线段都是三角形的一部分。他用通常的方法进行构造：以线段为半径，分别以线段的两个端点为圆心作圆，将两个圆的交点作为三角形的第三个顶点。然而，他的公理并不保证这两个圆必定相交。因此，许多公理系统的修订版本被提出，其中有希尔伯特公理系统。

欧几里德还提出了五个“一般概念”，也可以作为公理。当然，之后他还使用量的其他性质。