歐幾里德域

在抽象代數中，歐幾里德域（也稱作歐幾里德環）是一種能作輾轉相除法的整環。凡歐幾里德域必為主理想域。

[编辑] 定義

一個歐幾里德域是一整環 $D$ 及函數 $v: D \setminus \{0\} \to \N \cup \{0\}$ ，使之滿足下述性質：

若 $a, b \in D$ 而 $b \neq 0$ ，則存在 $q, r \in D$ 使得 $a = b q + r$ ，而且或者 $r = 0$ ，或者 $v (r) < v (b)$ 。
若 $a$ 整除 $b$ ，則 $v(a) \leq v(b)$ 。

函數 $v$ 可設想成元素大小的量度，當 $D=\Z$ 時可取 $v (x): = | x |$ 。

[编辑] 例子

歐幾理德域的例子包括了：

整數環 $\Z$ ， $v (x) = | x |$ 。
高斯整數環 $\Z[\sqrt{-1}]$ 。
域上的多項式環（ $v (f) = deg f$ ）與冪級數環（ $v (f)$ 定義為使 $X n | f (X)$ 的最大非負整數 $n$ ）。
離散賦值環， $v (x)$ 定義為使 $x \in \mathfrak{m}^n$ 的最大非負整數 $n$ ，其中 $\mathfrak{m}$ 表該離散賦值環的唯一極大理想。

利用輾轉相除法（定義中的第一條性質），可以證明歐幾里德域必為主理想域，此時理想由其中 $v$ -值最小的元素生成。由此得到一個推論：歐幾里德域必為唯一分解域。

並非所有主理想域都是歐幾里德域，Motzkin 證明了 $\mathbb{Q}[\sqrt{d}]$ 的整數環在 $d = - 19, - 43, - 67, - 163$ 時並非歐幾里德域，卻仍是主理想域。這方面的進一步結果詳見以下文獻。

[编辑] 文獻

Motzkin. The Euclidean algorithm, Bull. Amer. Math. Soc. 55, (1949) pp. 1142--1146
Weinberger. On Euclidean rings of algebraic integers in "Analytic number theory", Proc. Sympos. Pure Math., Vol. XXIV, St. Louis Univ., St. Louis, MO (1972) published by Amer. Math. Soc. (1973) pp. 321--332
Harper and Murty, Canad. J. Math. Vol. 56 (1) (2004) pp. 71--76

来自“http://www.wikilib.com/wiki/%E6%AD%90%E5%B9%BE%E9%87%8C%E5%BE%B7%E5%9F%9F”

3个分类: 環論 | 交換代數 | 来自中文维基百科