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正合序列

在數學中，正合序列、正合列或譯作恰當序列於同調代數中居於核心地位，其中特別重要的一類是短正合序列。

目录

[编辑] 定義

一個由某類適宜的範疇（例如阿貝爾群、向量空間或 模，詳如後述）中的對象與態射構成的序列

A'\longrightarrow A\longrightarrow A''

被稱作在 A處正合，若且唯若

\mathrm{Im}(A'\to A)=\mathrm{Ker}(A\to A'')

一般而言，該範疇中的序列

A_1\longrightarrow A_2\longrightarrow A_3\longrightarrow \cdots \longrightarrow A_{n-1} \longrightarrow A_n

被稱作是正合的，若且唯若它在 A2、A3、\cdots A_{n-1} 處正合。類似定義可以推廣至沒有端點的無窮序列。

為了探討序列的正合性，範疇中必須能構造一個態射的像 Im 與核 Ker，並確保這兩種構造具備在阿貝爾群、向量空間或模的情形一樣的範疇論性質。處理這類問題的框架是阿貝爾範疇，以下考慮的範疇如未說明皆為阿貝爾範疇。

[编辑] 例子

  • 序列
0\longrightarrow A'\longrightarrow A
正合的充要條件是 A'\to A 是單射。
  • 序列
A\longrightarrow A''\longrightarrow0
正合的充要條件是 A\to A'' 是滿射。
  • 對任何態射 f\colon A\to B，以下序列都是正合的
0\longrightarrow\mathrm{Ker}\,f\longrightarrow A\longrightarrow B\longrightarrow\mathrm{Coker}\,f\longrightarrow0
注意：在群的範疇中，必須要求 f 在 B 中的像是正規子群才能考慮 Coker(f)，故上述正合性對一般範疇不成立。


[编辑] 短正合序列

一個具下述形式的正合序列

0\longrightarrow A'\longrightarrow A\longrightarrow A''\longrightarrow0

稱作短正合序列。

[编辑] 分裂短正合序列

若以下任一等價條件成立，則稱短正合序列 0\longrightarrow A' \stackrel{f}{\longrightarrow} A \stackrel{g}{\longrightarrow} A'' \longrightarrow0 分裂：

  • g 有截面（即存在 s: A'' \rightarrow A 使得 g \circ s = \mathrm{id}_{A''}）
  • f 有縮回（即存在 r: A \rightarrow A' 使得 r \circ f = \mathrm{id}_{A'}）
  • 該短正合序列同構（在鏈複形的意義下）於
0\longrightarrow A'\longrightarrow A'\oplus A''\longrightarrow A''\longrightarrow0
其中的箭頭是直和的典範映射。

對於群的範疇，前兩個條件不一定蘊含第三個，它們只能保證 A 可以表為 A' 與 A'' 的半直積；例如我們可考慮群同態

1 \longrightarrow \mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \longrightarrow S_3 \longrightarrow \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \longrightarrow 0

其中 S3 是 3 次對稱群。\mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \rightarrow S_3 由 n\; \mathrm{mod}\; 3 \longmapsto (123)^n 給出，它的像是交代群 A3，商為 \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}；但 S3 無法分解成 \mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}。

[编辑] 將正合序列拆解為短正合序列

正合序列可以透過核 Ker 與上核 Coker 的構造拆解為短正合序列，構造方式如下：考慮一正合序列

\cdots \longrightarrow A_{n-1} \longrightarrow A_n \longrightarrow A_{n+1} \longrightarrow \cdots

設

Z_n:=\mathrm{Ker}(A_n\to A_{n+1}) = \mathrm{Im}(A_{n-1}\to A_n)=\mathrm{Coker}(A_{n-2}\to A_{n-1})

其中 2 \leq n \leq 4，這就給出了一個短正合序列

0\longrightarrow Z_n\longrightarrow A_n\longrightarrow Z_{n+1}\longrightarrow 0

一般而言，設 A_\bullet 為鏈複形，我們同樣定義 Z_n :=\mathrm{Ker}(A_n\to A_{n+1}) ；此時鏈複形的正合性等價於所有短鏈 0 \rightarrow Z_n\rightarrow A_n\rightarrow Z_{n+1}\rightarrow 0 的正合性。

[编辑] 推廣

給定一個短正合序列

0\longrightarrow A'\longrightarrow A\longrightarrow A''\longrightarrow0

有時也稱 A 為 A'' 經由 A' 的擴張。

詳閱條目Ext函子與群上同調。

[编辑] 長正合序列

更多資料：同調

若有鏈複形的短正合序列：

0 \longrightarrow C'_\bullet \longrightarrow C_\bullet \longrightarrow C''_\bullet \longrightarrow 0

反覆運用蛇引理，可以導出正合序列

\cdots \longrightarrow H_{n+1}(C''_\bullet) \longrightarrow H_n(C'_\bullet) \longrightarrow H_n(C_\bullet) \longrightarrow H_n(C''_\bullet) \longrightarrow H_{n-1}(C'_\bullet) \longrightarrow \cdots

對上鏈複形的上同調亦同，此時連接同態的方向是 H^n(C''^\bullet) \to H^{n+1}(C'^\bullet)。這類序列稱作長正合序列，它是同調代數最重要的技術之一。在代數拓撲中，長正合序列與相對同調群和 Mayer-Vietoris 序列相關。導函子也可以導出相應的長正合序列。

[编辑] 參見

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