正多面體

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正多面體，或稱柏拉圖立體，指各面都是相同的正多邊形的凸多面體。因此正多面體上每條邊都連接相同數量的面，每個頂點都連接相同數量的邊。

[编辑] 命名由来

正多面體的別稱柏拉圖立體是因柏拉圖而命名的。柏拉圖的朋友特埃特圖斯告訴柏拉圖這些立體，柏拉圖便將這些立體寫在《提瑪友斯》內。正多面體的作法收錄《几何原本》的第13卷。在命題13描述正四面體的作法，命題14就是正八面體，命題15為立方體，命題16是正二十面體，命題17是正十二面體。

[编辑] 判断依据

判断正多面体的依据有三条

正多面体的面由正多边形构成
正多面体的各个顶角相等
正多面体的各条楞边都相等

这三个条件都必须同时满足，否则就不是正多面体，比如五角十二面体，虽然和正十二面体一样是由十二个正三角形围成的，但是由于它的各个顶角并不等价因此不是正多面体。

正多面体具有很高的对称形，每个正多面体是相似多面体所属点群中对称性最高的，对正多面体加以变化就会导致对称性下降，如正十二面体属于Ih点群，当它变化为五角十二面体的时候对称性也随之下降为Td群。

[编辑] 存在的正多面體

正多面體共有五個，均由古希臘人發現︰

名稱	構成面	面	邊	頂點	幾何數據	所属点群
正四面體	等邊三角形	4	6	4	表面積： $\sqrt{3}a^2$ $\approx 1.732a^2$ 體積： ${1\over12}\sqrt{2}a^3$ $\approx 0.118a^3$ 二面角角度： $\arccos \frac 1 3$ $\approx 70^\circ 32'$ 外接球半徑： $\frac {\sqrt 6}{4} a$ $\approx 0.612 a$ 內接球半徑： $\frac {\sqrt 6}{12} a$ $\approx 0.204 a$ 對偶多面體：正四面體	Td群
立方體（正六面體）	正方形	6	12	8	表面積： $6a^2\$ 體積： $a^3\$ 二面角角度： $90^\circ$ 外接球半徑： $\frac {\sqrt 3} 2 a$ $\approx 0.866 a$ 內接球半徑： $\frac a 2$ 對偶多面體：正八面體	Oh群
正八面體	等邊三角形	8	12	6	表面積： $2\sqrt{3}a^2$ $\approx 3.464 a^2$ 體積： ${1\over3}\sqrt{2}a^3$ $\approx 0.471 a^3$ 二面角角度： $\arccos \left(-\frac 1 3 \right)$ $\approx 109^\circ 28'$ 外接球半徑： $\frac {\sqrt 2} 2 a$ $\approx 0.707a$ 內接球半徑： $\frac {\sqrt 6} 6 a$ $\approx 0.408a$ 對偶多面體：立方體	Oh群
正十二面體	正五邊形	12	30	20	表面積： $3\sqrt{25+10\sqrt5}a^2$ $\approx 20.65a^2$ 體積： ${1\over4}(15+7\sqrt5)a^3$ $\approx 7.663a^3$ 二面角角度： $\arccos \bigg({-\frac{\sqrt 5}5}\bigg)$ $\approx 116^\circ 34'$ 外接球半徑： $\frac{\sqrt{6}}{4} \sqrt{3 +\sqrt{5}} a$ $\approx 1.401 a$ 內接球半徑： $\frac{a}{4} \sqrt{ \frac{50+22\sqrt{5}}{5} }$ $\approx 1.114 a$ 對偶多面體：正二十面體	Ih群
正二十面體	等邊三角形	20	30	12	表面積： $5\sqrt3a^2$ $\approx 8.660a^2$ 體積： ${5\over12}(3+\sqrt5)a^3$ $\approx 2.182a^3$ 二面角角度： $\arccos \bigg({-\frac {\sqrt 5}3}\bigg)$ $\approx 138^\circ 11'$ 外接球半徑： $\frac{a}{4} \sqrt{10 +2\sqrt{5}}$ $\approx 0.951 a$ 內接球半徑： $\frac{a}{12} \sqrt{3} \left(3+ \sqrt{5} \right)$ $\approx 0.756 a$ 對偶多面體：正十二面體	Ih群