平方数

数学上，平方数，或称完全平方数，是指可以写成某个整数的平方的数，即其平方根为整数的数。例如，9 = 3 × 3，它是一个平方数。

平方数也称正方形数，若 n 为平方数，将 n 个点排成矩形，可以排成一个正方形。

若将平方数概念扩展到有理数，则两个平方数的比仍然是平方数，例如， (2 × 2) / (3 × 3) = 4/9 = 2/3 × 2/3。

若一个整数没有除了 1 之外的平方数为其因數，则称其为无平方数因数的数。

[编辑] 举例

最小的51个平方数为（OEIS中的数列A000290） ：0² = 0

[编辑] 表达式

1:

+               x

4:

x +             x x
+ +             x x

9:

x x +           x x x
x x +           x x x
+ + +           x x x

16:

x x x +         x x x x
x x x +         x x x x
x x x +         x x x x
+ + + +         x x x x

25:

x x x x +       x x x x x 
x x x x +       x x x x x 
x x x x +       x x x x x 
x x x x +       x x x x x 
+ + + + +       x x x x x 

• 通项公式

整数 n 的平方数为 n²，它等于最小的 n 个奇数的和（）。在上图中，每个平方数表示为前一个平方数加上一个奇数（标记为 '+'），如 5² = 25 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9。

• 递归公式

每个平方数可以从之前的两个平方数计算得到，即 n² = 2(n − 1)² − (n − 2)² + 2。例如，2×5² − 4² + 2 = 2×25 − 16 + 2 = 50 − 16 + 2 = 36 = 6²。

• 连续整数的和

平方数还可以表示成 n² = 1 + 1 + 2 + 2 + ... + n − 1 + n − 1 + n。例如，4² = 16 = 1 + 1 + 2 + 2 + 3 + 3 + 4。可以将其解释为在边长为 3 的矩形上添加宽度为 1 的一行和一列，即得到边长为 4 的矩形。 这对于计算较大的数的平方数非常有用。例如， 52² = 50² + 50 + 51 + 51 + 52 = 2500 + 204 = 2704.

[编辑] 性质

• 一个平方数是两个相邻三角形數之和。两个相邻平方数之和为一个中心正方形數。所有的奇数平方数同时也是中心八边形数。

• 四平方和定理說明所有正整数均可表示为最多四个平方数的和。特别的，三个平方数之和不能表示形如 4^k(8m + 7) 的数。若一个正整数可以表示因數中没有形如 4k + 3 的素数的奇次方，则它可以表示成两个平方数之和。

• 在十进制中，平方数只能以 00，1，4，6，9 或 25 结尾：

1. 若一个数以 0 结尾，它的平方数以 00 结尾，且其他数字也构成一个平方数
2. 若一个数以 1 或 9 结尾，它的平方数以 1 结尾，且其他数字构成的数能被 4 整除
3. 若一个数以 2 或 8 结尾，它的平方数以 4 结尾，且其他数字构成的一个偶数
4. 若一个数以 3 或 7 结尾，它的平方数以 9 结尾，且其他数字构成的数能被 4 整除
5. 若一个数以 4 或 6 结尾，它的平方数以 6 结尾，且其他数字构成的一个奇数
6. 若一个数以 5 结尾，它的平方数以 25 结尾，且其他数字必定为 0，2，06，56 之一

• 方便地计算一个数的平方数的方法：先找到两个数，它们的平均即为要求的数，如，为了求 21²，找到 20 和 22；将这两个数相乘，然后加上它们与要求的数的差的平方，如，22×20 + 1 = 440 + 1² = 441。 这一算法基于平方差公式：

(x − y)(x + y) = x² − y²

即有 (21–1)(21 + 1) = 21² − 1² = 440。

• 每4个连续的自然数相乘加 1，必定会等於一个平方数，即 a(a + 1)(a + 2)(a + 3) + 1 = (a² + 3a + 1)²。

• 平方数必定不是完全数。

[编辑] 參看

• 立方數-平方數在立體的推廣
• 三角形数
• 三角平方數-同時為三角形數和平方數的數
• 多邊形數