正规子群

维库，知识与思想的自由文库

跳转到: 导航, 搜索

3个分类: 代数 | 群论 | 来自中文维基百科

在抽象代数中，正规子群或不变子群指一类特殊的子群。由正规子群，可以引导出商群的概念。

埃瓦里斯特·伽罗瓦是最早认识到正规子群的重要性的人。

[编辑] 定义

[编辑] 陪集

给定一个群G，以及G的一个子群H，G的一个元素a，集合：

$aH = \left\{ ax | x \in H \right\}$ 称作H关于a的左陪集。a叫做aH的代表元。

类似地，可以定义H关于a的右陪集：

$Ha = \left\{ xa | x \in H \right\}$ 。

可以证明：对于G中的两个元素a、b， $(a^{-1}b \in H) \Longleftrightarrow (aH \cap bH \ne \varnothing) \Longleftrightarrow (aH = bH)$ 。因此aH和bH只有两种关系：相等，或交集为空，即 $a H = b H$ 或者 $aH \cap bH = \varnothing$ 。

于是群G可以被分解成：

$G = \bigcup_{a \in G} aH$

这个分解称作群G的左陪集分解。类似地有群G的右陪集分解：

$G = \bigcup_{a \in G} Ha$

进一步地，可以证明由 $a \sim b \Longleftrightarrow a^{-1}b \in H$ 所定义的关系是一个等价关系，集合中的每个等价关系都可确定一个等价类，因此每个 $a H$ 是一个等价类。每个 $a H$ 中含有的元素个数是相等的。

此外，群G的左陪集分解与群G的右陪集分解间存在同构：

$\tau : aH \mapsto Ha^{-1}$

因此H的左陪集个数和右陪集个数是相等的，叫做H对G的指数。

[编辑] 正规子群

对于一般的H，集合 $\left\{ aH | a \in G \right\}$ 关于子集的积并不是一个群。对于G中的元素a、b，子集的积 $aH \times bH = abH$ ，但对于 $a^\prime \in aH, b^\prime \in bH$ ，不一定有 $a^\prime H \times b^\prime H = abH$ 。使得 $\left\{ aH | a \in G \right\}$ 关于子集的积是一个群的子群H，称为群G的正规子群，或不变子群。

正规子群的严格定义有很多种，以下的定义都是等价的：

对G中每个元素g，gHg⁻¹ ⊆ H；
对G中每个元素g，gHg⁻¹ = H；
$\left\{ Ha | a \in G \right\} = \left\{ aH | a \in G \right\}$ ；
对G中每个元素g， gH = Hg。

可以证明，对以上定义的子群H， $\left\{ aH | a \in G \right\}$ 关于子集的积是一个群，这时H的左陪集和右陪集是一样的，统称陪集。陪集组成的群叫做G关于H的商群，记作 $\frac{G}{H}$ 。商群的目数等于H对G的指数。

[编辑] 例子

{e}和G自身总是G的正规子群。如果G只有这两个正规子群，就叫做简单群。

群G的中心是G的正规子群。
群G的交换子群是G的正规子群。
一个阿贝尔群的所有子群都是它的正规子群，因为显然有gH = Hg。不是阿贝尔群，但全部子群都是正规子群的群叫做哈密尔顿群(Hamiltonian group)，阶数最小的例子是四元数单位 $\pm 1, \pm i \pm j, \pm k$ 对乘法构成的群 $Q 8$ 。
任何有限维欧几里德空间中，平移群都是欧几里德群的正规子群。比如说在3维空间中，先旋转，平移，再作原来旋转的逆，结果是原来的平移。先做镜面对称，平移，再作原来镜面对称的逆，还是原来的平移。将平移按长度分类，就得到一个等价类。平移群是各种长度的平移的并集。

[编辑] 性质

满同态保持正规子群的性质，逆映射也是一样。

直积保持正规子群的性质。
G的正规子群的正规子群不一定是G的正规子群，即是说正规子群没有传递性。但是，G的正规子群的特征子群总是G的正规子群。
G的所有2阶的子群都是正规子群。G中每个阶为n的子群都包含一个G的正规子群K，它对G的阶整除n! 。特别地，当p是|G|的最小质因数时，G的所有p阶的子群都是正规子群。

[编辑] 参见

同态 | 同构 | 商结构(商系统)

来自“http://wikilib.com/wiki/%E6%AD%A3%E8%A7%84%E5%AD%90%E7%BE%A4”

个人工具