泊松括號

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5个分类: 辛拓扑 | 哈密尔顿力学 | 代数 | 微分几何 | 二元運算

在數學及傳統力學中,泊松括號是哈密尔顿力學重要的運算,是漢密爾頓表述的動力系統中時間推移的定義。因Siméon-Denis Poisson而命名。

[编辑] 定義

泊松括號是雙線性映射把兩個在辛流形(symplectic manifold)中可微分的函數映射到一个函數。具体来讲，如果我们有两个函数f和g, 则

$\{f,g\}=\tilde{\omega}(df,dg)$

這裡的 ω 是辛形式(symplectic form), $\tilde{\omega}$ 是双向量，使得若把 ω 看成為從向量到微分形式的映射, $\tilde{\omega}$ 则是从微分形式到向量的线性映射，对所有微分形式 α满足 $\omega(\tilde{\omega}(\alpha))= \alpha$ ,这里d表示外导数. 双向量 $\tilde{\omega}$ 有时称为辛流形上的泊松結構。

[编辑] 正則座標

在正則座標 $(q i, p j)$ 泊松括號記作:

$\{f,g\} = \sum_{i=1}^{N} \left[ \frac{\partial f}{\partial q^{i}} \frac{\partial g}{\partial p_{i}} - \frac{\partial f}{\partial p_{i}} \frac{\partial g}{\partial q^{i}} \right]$ .

[编辑] 李代數

泊松括號符合反交換律。滿足雅戈比恒等式.这使得辛流形上的平滑函數空间成为無限維的李代數，以泊松括號为李括號.相应的李群是辛流形的辛同胚群(稱為正則變換).

给定一个可微分的切丛上的向量场 X, 令 $P X$ 为其共轭动量(conjugate momentum). 这个从场到共轭动量的映射为李代數从泊松括號到李括號的反同态(anti-homomorphism):

$\{P_X,P_Y\}=-P_{[X,Y]} \,$ 。

这个重要结构值得我们给个简短证明. 记组态空间的q点的向量场X为

$X_q=\sum_i X^i(q) \frac{\partial}{\partial q^i}$

其中 $\partial /\partial q^i$ 是局部坐标系. X的共轭动量的表达式为

$P_X(q,p)=\sum_i X^i(q) \;p_i$

这里 $p i$ 为和坐标共轭的动量函数. 这样就有,对相空间的每点 $(q, p)$ ,

$\{P_X,P_Y\}(q,p)= \sum_i \sum_j \{X^i(q) \;p_i, Y^j(q)\;p_j \}$

$=\sum_{ij} p_i Y^j(q) \frac {\partial X^i}{\partial q^j} - p_j X^i(q) \frac {\partial Y^j}{\partial q^i}$

$= - \sum_i p_i \; [X,Y]^i(q)$

$= - P_{[X,Y]}(q,p) \,$

以上对所有 $(q, p)$ 成立,证毕.

[编辑] 時間演變

辛流形上的函数f的随时间的演变可以辛同胚的单参数族的形式给出,时间t就是那个参数.对时间的全微分如下

$\frac{d}{dt} f= \frac{\partial }{\partial t} f + \{\,f,H\,\} = \frac{\partial }{\partial t} f - \{\,H,f\,\} = \left(\frac{\partial }{\partial t} - \{\,H,\,\}\right)f.$