普瓦松方程

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普瓦松方程（又釋泊松方程），是數學中一條常見於靜電學，機械工程和理論物理的偏微分方程式。是從法國數學家，幾何學家及物理學家泊松而得名的。普瓦松方程式為

$\Delta\varphi=f$

在這裡 $Δ$ 代表的是拉普拉斯算子，而 f 和 φ可以是在流形上的實數或複數值的方程式。當流形屬於歐氏空間，而拉普拉斯算子通常表示為 ${\nabla}^2$ ，因此普瓦松方程通常寫成

${\nabla}^2 \varphi = f$

在三維度的直角坐標系，可以寫成

$\left( \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2} \right)\varphi(x,y,z) = f(x,y,z).$

如果沒有f，這個方程式就會變成拉普拉斯方程

$\Delta \varphi = 0. \!$

普瓦松方程可以用格林函數來求解;如何利用格林函數來解普瓦松方程可以參考screened Poisson equation. 現在有很多種數值解。像是relaxation method,不斷回圈的代數法，就是一個例子。

[编辑] 靜電學

在靜電學很容易遇到普瓦松方程。對於給定的 f 找出 φ 是一個很實際的問題，因為我們經常遇到給定電荷密度然後找出電場的問題。在國際單位制(SI)中:

${\nabla}^2 \Phi = - {\rho \over \epsilon_0}$

此 $\Phi \!$ 代表電場(單位為伏特)， $\rho \!$ 是電荷密度 (單位為庫倫/立方公尺)，而 $\epsilon_0 \!$ 代表真空中的電容率 (單位為法拉/公尺)。

如果空間中有某區域沒有帶電粒子，則

$\rho = 0, \,$

此方程式就變成拉普拉斯方程:

${\nabla}^2 \Phi = 0.$

如果有一個三維球對稱的高斯分佈電荷密度 $ρ(r)$ :

$\rho(r) = \frac{Q}{\sigma^3\sqrt{2\pi}^3}\,e^{-r^2/(2\sigma^2)},$

此處，Q 代表總電荷

此普瓦松方程式 : ${\nabla}^2 \Phi = - { \rho \over \epsilon_0 }$ 的解 Φ (r) 則為

$\Phi(r) = { 1 \over 4 \pi \epsilon_0 } \frac{Q}{r}\,\mbox{erf}\left(\frac{r}{\sqrt{2}\sigma}\right)$

erf(x) 代表的是 error function.

注意, 如果 r 遠大於 σ, erf(x) 趨近於1，而電場 Φ (r) 趨近點電荷電場 ${ 1 \over 4 \pi \epsilon_0 } {Q \over r}$ , 正如我們所預期的。

英文維基百科en:Poisson's equation
Poisson Equation at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
L.C. Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society, Providence, 1998. ISBN 0-8218-0772-2
A. D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9