洛仑兹变换

洛仑兹变换是观测者在不同惯性参照系之间对物理量进行测量时所进行的转换关系，在数学上表现为一套方程組。洛仑兹变换因其创立者——荷兰物理学家亨德里克·洛仑兹而得名。洛仑兹变换最初用来调和19世纪建立起来的经典电动力学同牛顿力学之间的矛盾，后来成为狭义相对论中的基本方程组。

[编辑] 洛仑兹变换的提出

19世纪后期建立了麦克斯韦方程组，标志着经典电动力学取得了巨大成功。然而麦克斯韦方程组在经典力学的伽利略变换下并不是协变的。

由麦克斯韦方程组可以得到电磁波的波动方程，由波动方程解出真空中的光速是一个常数。按照经典力学的时空观，这个结论应当只在某个特定的惯性参照系中成立，这个参照系就是以太。其它参照系中测量到的光速是以太中光速与观察者所在参照系相对以太参照系的速度的矢量叠加。然而1887年的迈克尔逊-莫雷实验测量不到地球相对于以太参照系的运动速度。1904年，洛仑兹提出了洛仑兹变换用于解释迈克尔逊-莫雷实验的结果。根据他的设想，观察者相对于以太以一定速度运动时，长度在运动方向上发生收缩，抵消了不同方向上由于光速差异，这样就解释了迈克尔逊-莫雷实验的零结果。

[编辑] 洛仑兹变换的数学形式

沿着快速加速的观察者的世界线来看的时空。
竖直方向表示时间。水平方向表示距离，虚划线是观察者的时空轨迹（“世界线”）。图的下四分之一表示观察者可以看到的事件。上四分之一表示光锥- 将可以看到观察者的事件点。小点是时空中的任意的事件。
世界线的斜率（从竖直方向的偏离）给出了相对于观察者的速度。注意看时空的图像随着观察者加速时的变化。

洛仑兹提出洛仑兹变换是基于以太存在的前提的，然而以太被证实是不存在的，根据光速不变原理，相对于任何惯性参照系，光速都具有相同的数值。爱因斯坦据此提出了狭义相对论。在狭义相对论中，空间和时间并不相互独立，而是一个统一的四维时空整体，不同惯性参照系之间的变换关系式与洛仑兹变换在数学表达式上是一致的，即：

y

z

其中x、y、z、t分别是惯性坐标系Σ下的坐标和时间，x'、y'、z'、t'分别是惯性坐标系Σ'下的坐标和时间。v是Σ'坐标系相对于Σ坐标系的运动速度，方向沿x轴。

由狭义相对性原理，只需在上述洛仑兹变换中把v变成-v，x'、y'、z'、t'分别与x、y、z、t互换，就得到洛仑兹变换的反变换式：

y = y'

z = z'

洛仑兹变换是高速运动的宏观物体在不同惯性参照系之间进行坐标和时间变换的基本规律。当相对速度v远远小于光速c时，洛仑兹变换退化为经典力学中的伽利略变换:

x' = x-vt

y' = y

z' = z

t' = t

所以，狭义相对论与经典力学并不矛盾，狭义相对论将经典力学扩展到了宏观物体在一切运动速度下的普遍情况，经典力学只是相对论在低速时（v远远小于c）的近似情况。一般在处理运动速度不太高的物体时（如天体力学中计算行星的运行轨道），不需考虑到相对论效应，因为用相对论进行处理时计算往往变得非常繁琐，而结果与经典情况相差不大。当处理高速运动的物理时，比如高能加速器中的电子，则必须要考虑相对论效应对结果带来的修正。

[编辑] 洛仑兹变换的四维形式

在狭义相对论中，某一事件可以用带有四个参数的时空坐标（x、y、z、t）来描述，洛仑兹变换就是在不同惯性参考系中观察同一事件的时空坐标变换关系，并且是满足四维空间中间隔（s²=c²t²-x²-y²-z²）不变的变换。如果将x、y、z记成x₁、x₂、x₃，并且引入虚数坐标，令：

x₄ = ict

那么洛仑兹变换可以写成如下的矩阵形式：

其中

，称为洛仑兹因子。

[编辑] 洛仑兹变换的推论

由洛仑兹变换可以得到相对论的速度变换公式。设u_x、u_y、u_z分别是物体在惯性坐标系Σ下沿各坐标轴的速度分量，u'_x、u'_y、u'_z分别是物体在惯性坐标系Σ'下沿各坐标轴的速度分量，那么：

如果把v变成-v，u_x、u_y、u_z分别与u'_x、u'_y、u'_z互换，就得到上述速度变换的反变换式。

当速度v远小于光速时，上述速度变换式退化为经典的速度变换式：

u'_x = u_x − v

u'_y = u_y

u'_y = u_z

[编辑] 参阅

• 伽利略变换
• 狭义相对论

[编辑] 外部链接

• 一個用初等數學證明洛侖玆變換的PPT