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洛必達法則

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1个分类: 微积分

微积分学
微积分基础函数初等函数极限数列夹挤定理连续间断点一元微积分导数与微分高阶导数介值定理中值定理罗尔定理拉格朗日定理柯西定理泰勒公式洛必达法则导数的函数应用极值凹凸性曲率积分不定积分积分表三角函数积分表反函数积分表反双曲函数积分表对数函数积分表指数函数积分表无理函数积分表有理函数积分表定积分牛顿-莱布尼茨公式广义积分判别法柯西判别法阿贝尔判别法狄里克雷判别法主值柯西主值 β函数 Γ函数多元微积分多元函数微分多元函数偏导数隐函数全微分方向导数梯度泰勒公式多元函数积分重积分二重-三重-多重广义重积分曲线积分曲面积分格林公式高斯公式斯托克斯公式散度和旋度微分方程常微分方程差分方程拉普拉斯变换法微积分的应用微积分的几何应用平面图形的面积平面曲线的切线和弧长旋转体的体积旋转曲面的面积曲面的切平面和法线空间曲线的切线和法平面微积分的物理应用运动的位移、加速度力所做的功物质的质量静力矩、惯性矩和重心微积分的经济应用边际弹性、交叉弹性收益流的现值和将来值成本分析、净资产分析

洛必達法則（L'Hôpital's rule）。

目录

1 定理1
2 定理2
3 極限值為不定型 R| 之證明
4 参阅

[编辑] 定理1

设

当 $x\to a$ 时，函数f(x)及F(x)都趋于零；
在点a的某去心邻域内， $f^\prime(x)$ 及 $F^\prime(x)$ 都存在，且 $F^\prime(x)\ne 0$
$\lim_{x\to a}{\frac{f^\prime(x)}{F^\prime(x)}}$ 存在(或为无穷大)，

那么

$\lim_{x\to a}{\frac{f(x)}{F(x)}}=\lim_{x\to a}{\frac{f^\prime(x)}{F^\prime(x)}}$

[编辑] 定理2

设

当 $x\to\infty$ 时，函数f(x)及F(x)都趋于零；
在 $\left|x\right|>N$ 时， $f^\prime(x)$ 及 $F^\prime(x)$ 都存在，且 $F^\prime(x)\ne 0$
$\lim_{x\to \infty}{\frac{f^\prime(x)}{F^\prime(x)}}$ 存在(或为无穷大)，

那么

$\lim_{x\to \infty}{\frac{f(x)}{F(x)}}=\lim_{x\to \infty}{\frac{f^\prime(x)}{F^\prime(x)}}$

[编辑] 極限值為不定型 $\frac{0}{0}$ 之證明

設兩函數 $\ f(x)$ 及 $\ g(x)$ ，各在 x 為 a 點時連續，且其值皆為 0 ，則

$f(a) = 0;\; g(a) = 0$

$\lim_{x \to a} f(x) = 0;\; \lim_{x \to a} g(x) = 0$

考慮兩函數在 x = a 時之比值：

$\frac{f(a)}{g(a)} = \frac{0}{0}$

將會得到一不定型。若改以極限之方式求其結果，亦得相同答案

$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0}$

由於 $f (x)$ 及 $g (x)$ 在 a 點皆為零，利用這點將式子整理為

$\lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{g(x) - g(a)}$

同時對分子及分母同除上 $x - a$

$\lim_{x \to a} \frac{\frac{f(x) - f(a)}{x - a}}{\frac{g(x) - g(a)}{x - a}} = \frac{\lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}}{\lim_{x \to a} \frac{g(x) - g(a)}{x - a}}$

分子分母各可得一差商極限，即函數 $\ f(x)$ 以及 $\ g(x)$ 各別在 x 為 a 點上導數之比值

$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f'(a)}{g'(a)}$

又因為一連續函數之導函數必為一連續函數，故得證

$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f'(a)}{g'(a)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$

[编辑] 参阅

来自“http://hello_baby.movieclub.com.cn/wiki/%E6%B4%9B%E5%BF%85%E9%81%94%E6%B3%95%E5%89%87”

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