开放、中立，源自维基百科

个人工具

登录或创建账户

用搜狗搜索相关网站

海伦公式

维库，知识与思想的自由文库

跳转到: 导航, 搜索

3个分类: 维基百科需要真实性确认的条目 | 三角学 | 几何定理

后述条目或段落中，部分資料未经查證或來源可疑，因而未能盡信。
確認討論頁有無相關討論，並勇於添註資料來源，增进内容可靠性

海伦公式，又譯希倫公式、海龍公式，傳說是古代的敘拉古國王希耶隆二世發現的公式，利用三角形的三條邊長來求取三角形面積。但根據 Morris Kline 在1908年出版的著作考證，這條公式其實是阿基米德所發現，以托希倫二世的名發表。

假設有一個三角形，邊長分別為 $a, b, c$ ，三角形的面積 $S$ 可由以下公式求得：

$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ ，这里 $p=\frac{a+b+c}{2}$ 。

中国南宋末年数学家秦九韶发现或知道等价的公式，其著作《数书九章》卷五第二题即三斜求积。“问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，里法三百步，欲知为田几何？”答曰：“三百十五顷．”其术文是：“以小斜幂并大斜幂，减中斜幂，余，半之。同乘于上，以小斜幂乘大斜幂，减上。余，四约之为实，开平方，得积。”若以大斜记为 $a$ ，中斜记为 $b$ ，小斜记为 $c$ ，秦九韶的方法相当于下面的一般公式：

$S=\sqrt{\frac1{4} \left( a^2 c^2 - \left( \frac{a^2+c^2-b^2}{2} \right)^2 \right)}$ ，这里 $a \ge b \ge c$ 。

像中国古代的数学家一样，他的方法没有证明。根据现代数学家吴文俊的研究，秦九韶公式可由出入相补原理得出。一些中国学者将这个公式称为秦九韶公式。

由于任何 $n$ 边的多边形都可以分割成 $n - 2$ 个三角形，所以海伦公式可以用作求多边形面積的公式。比如说测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只需测两点间的距离，就可以方便地导出答案。

[编辑] 证明

与海伦在他的著作《Metrica》中的原始证明不同，在此我们用三角公式和公式变形来证明。设三角形的三边 $a, b, c$ 的对角分别为 $A, B, C$ ，则余弦定理为

$\cos(C) = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$

从而有

$\sin(C) = \sqrt{1-\cos^2(C)}$

$= \sqrt{(1+\cos C)(1-\cos C)}$

$=\sqrt{\left( 1+\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} \right) \left( 1-\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} \right)}$

$=\sqrt{\left( \frac{(a+b)^2-c^2}{2ab} \right) \left( \frac{c^2-(a-b)^2}{2ab} \right)}$

$=\frac{\sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(c+a-b)(c-a+b)}}{2ab}$

$=\frac{\sqrt{(2p)(2p-2c)(2p-2b)(2p-2a)}}{2ab}$

$=\frac{2}{ab} \sqrt{(p)(p-c)(p-b)(p-a)}$

因此三角形的面积 $S$ 为

$S = \frac{1}{2}ab \sin(C)$

$= \frac{ab}{2} \; \frac{2}{ab} \sqrt{(p)(p-a)(p-b)(p-c)}$

$= \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

[编辑] 參見

婆罗摩笈多公式：海倫公式對圆内接四边形的推廣。

[编辑] 外部連結

香港科技大學數學系:數學資料庫:阿基米德的數學成就和研究方法

来自“http://www.wikilib.com/wiki/%E6%B5%B7%E4%BC%A6%E5%85%AC%E5%BC%8F”

查看

导航

搜索

工具

其它语言

English

AD Links