液体静力学

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2个分类: 物理学 | 来自中文维基百科

液体静力学主要研究静止的流体（液体，气体）。研究液体运动的是液体动力学。

[编辑] 压强和重力压

[编辑] 液体静力学基本方程

为了导出液体静力学基本方程我们考察以下对象：在重力场中，一个立方体形状的流体微元受重力加速度g的作用。

$dV = dx \cdot dy \cdot dz$ 密度为 $ρ$ ,上表面压强为 $p (y)$ . 下表面压强为（方向相反） $p (y) + d p$ .

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Zur Herleitung der hydrostatischen Grundgleichung macht man folgende Betrachtung: Im Schwerefeld der Erde g wirkt auf das druckbelastete quaderförmige Volumenelement $dV = dx \cdot dy \cdot dz$ der Dichte $ρ$ , von oben der Druck $p (y)$ . Von unten (aus pos. in die neg. y-Richtung) wirkt ein Gegendruck $p (y) + d p$ .

Bild:P_gl_gew_y.gif

Zwischen Ober- und Unterseite des Volumenelementes gibt es also einen Druckzuwachs $d p$ , den es zu bestimmen gilt. Hierzu wird das Kräftegleichgewicht in y-Richtung $\sum F_{y} = 0$ aufgestellt:

$\sum F_{y} = p(y) \cdot (dx \cdot dz) + \rho \cdot (dx \cdot dy \cdot dz) \cdot g - (p(y) + dp) \cdot (dx \cdot dz) = 0$

dieser Ausdruck lässt sich kürzen zu

$\rho \cdot dy \cdot g - dp = 0$

Umgeschrieben ergibt sich die als "hydrostatische Grundgleichung" bekannte Form:

$\frac{dp}{dy}=\rho \cdot g$

Der Vollständigkeit halber sei erwähnt, dass sich dieser Zusammenhang auch als Sonderfall der Navier-Stokes-Gleichungen aus der Fluidmechanik ergibt. Diese werden mithilfe des Impulssatzes für ein Fluidelement hergeleitet.

Aus der hydrostatischen Grundgleichung ergibt sich unter Annahme der Inkompressibilität von Flüssigkeiten ( $ρ = const.$ ) für den von y abhängigen Druck p(y):

$\int_{p(0)}^{p(h)} dp = \int_{0}^{h} (\rho g) dy$