点积

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在数学中，点积（也称为标量积）是接受在实数 R 上的两个向量并返回一个实数值标量的二元运算。它是欧几里德空间的标准内积。

[编辑] 定义与例子

两个(来自正交规范向量空间)向量 a = [a₁, a₂, … , a_n] 和 b = [b₁, b₂, … , b_n] 的点积定义为:

$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b} = \sum_{i=1}^n a_ib_i = a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n$

这里的 Σ 指示总和符号。

例如，两个三维向量 [1, 3, −5] 和 [4, −2, −1] 的点积是

$\begin{bmatrix}1&3&-5\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}4&-2&-1\end{bmatrix} = (1)(4) + (3)(-2) + (-5)(-1) = 3.$

使用矩阵乘法并把(纵列)向量当作 n×1 矩阵，点积还可以写为:

$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{a}^T \mathbf{b} \,$

这里的 a^T 指示矩阵 a 的转置。

使用上面的例子，这将结果一个 1×3 矩阵(就是行向量)乘以 3×1 向量(通过矩阵乘法的优势得到 1×1 矩阵也就是标量):

$\begin{bmatrix} 1&3&-5 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 4\\-2\\-1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \end{bmatrix}.$

[编辑] 几何解释

在欧几里德空间中，点积可以直观地定义为

$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| \, |\mathbf{b}| \cos \theta \;$ ,

这里 |x| 表示 x 的范数（长度），θ 表示两个向量之间的角度。

注意：点积的形式定义和这个定义不同；在形式定义中，a 和 b 的夹角是通过上述等式定义的。

这样，两个互相垂直的向量的点积总是零。若 a 和 b 都是单位向量（长度为 1 ），它们的点积就是它们的夹角的余弦。那么，给定两个向量，它们之间的夹角可以通过下列公式得到：

$\cos{\theta} = \frac{\mathbf{a \cdot b}}{|\mathbf{a}| \, |\mathbf{b}|}$

这个运算可以简单地理解为：在点积运算中，第一个向量投影到第二个向量上（这里，向量的顺序是不重要的，点积运算是可交换的），然后通过除以它们的标量长度来“标准化”。这样，这个分数一定是小于等于 1 的，可以简单地转化成一个角度值。

需要注意的是，点积的几何解释通常只适用于 $\mathbb{R}^n$ ( $n \le 3$ )。在高维空间，其他的域或模中，点积只有一个定义，那就是

$\left \langle \mathbf{a}, \mathbf{b} \right \rangle = \sum_{i=1}^n a_ib_i$

点积可以用来计算合力和功。若 b 为单位向量，则点积即为 a 在方向 b 的投影，即给出了力在这个方向上的分解。功即是力和位移的点积。

[编辑] 性质

点积满足交换律：

$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{b} \cdot \mathbf{a} \;$ 。

点积满足分配律:

$\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} + \mathbf{c}) = \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} + \mathbf{a} \cdot \mathbf{c}.$

点积是个双线性算子：

$\mathbf{a} \cdot (r\mathbf{b} + \mathbf{c}) = r(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) +(\mathbf{a} \cdot \mathbf{c}) \;$ 。

在乘以一个标量的时候点积满足:

$(c_1\mathbf{a}) \cdot (c_2\mathbf{b}) = (c_1c_2) (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})$

(后两个性质从前两个得出)。

两个非零向量 a 和 b 是垂直的，当且仅当 a · b = 0。

如果 b 是单位向量，则点积给出 a 在方向 b 上投影的大小，如果方向相反则带有负号。分解向量对求向量的和经常是有用的，比如在力学中计算合力。

不象普通数的乘法服从消去律，如果 ab = ac，则 b 总是等于 c 除非 a 零。而对于点积:

如果 a • b = a • c 并且 a ≠ 0:

则根据分配律可以得出: a • (b - c) = 0；进而:

如果 a 垂直于 (b - c)，则 (b - c) ≠ 0 因而 b ≠ c；否则 b = c。

[编辑] 两种定义的等价性的证明

从定义

$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \cos \theta \;$ .

可以得到定理

$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 \;$

为了证明后者是一个和前者等价的定义，需要证明后者也可以导出前者。

注意：这个证明采用三维向量，但可以推广到 n 维的情形。

考虑向量

$\mathbf{v} = v_1 \mathbf{i} + v_2 \mathbf{j} + v_3 \mathbf{k} \;$ .

重复使用勾股定理得到

$|\mathbf{v}|^2 = v_1^2 + v_2^2 + v_3^2 \;$ .

而根据第二个定义

$\mathbf{v} \cdot \mathbf{v} = v_1^2 + v_2^2 + v_3^2 \;$ ,

所以，向量 v 和自身的点积就是其长度的平方。

引理 1: $\mathbf{v} \cdot \mathbf{v} = |\mathbf{v}|^2 \;$

现在，考虑两个从原点出发的向量 a 和 b，夹角 θ。第三个向量 c 定义为

$\mathbf{c} \equiv \mathbf{a} - \mathbf{b} \;$ ,

构造以 a，b，c 为边的三角形，采用余弦定理，有

$|\mathbf{c}|^2 = |\mathbf{a}|^2 + |\mathbf{b}|^2 - 2 |\mathbf{a}||\mathbf{b}| \cos \theta \;$ .

根据引理 1，用点积代替向量长度的平方，有

$\mathbf{c} \cdot \mathbf{c} = \mathbf{a} \cdot \mathbf{a} + \mathbf{b} \cdot \mathbf{b} - 2 |\mathbf{a}||\mathbf{b}| \cos\theta \;$ . (1)

同时，根据定义 c ≡ a − b，有

$\mathbf{c} \cdot \mathbf{c} = (\mathbf{a} - \mathbf{b}) \cdot (\mathbf{a} - \mathbf{b}) \;$ ,

根据分配律，得

$\mathbf{c} \cdot \mathbf{c} = \mathbf{a} \cdot \mathbf{a} + \mathbf{b} \cdot \mathbf{b} -2(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) \;$ . (2)

连接等式 (1) 和 (2) 有

$\mathbf{a} \cdot \mathbf{a} + \mathbf{b} \cdot \mathbf{b} -2(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) = \mathbf{a} \cdot \mathbf{a} + \mathbf{b} \cdot \mathbf{b} - 2 |\mathbf{a}||\mathbf{b}| \cos\theta \;$ .

简化等式即得

$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}||\mathbf{b}| \cos\theta \;$ ,

Q.E.D.

[编辑] 应用

物理学中力学的力做功的问题,经常用到点积计算。

计算机图形学常用来进行方向性判断，如两向量点积大于0,则它们的方向朝向相近；如果小于0,则方向相反。

此方法被用于卡通渲染(Toon-Rendering).

[编辑] 参见

叉积

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