牛頓運動第二定律

维库，知识与思想的自由文库

跳转到: 导航, 搜索

2个分类: 物理定律 | 经典力学

在自然哲學的數學原理上，以拉丁文撰寫的牛頓運動第一及第二定律原本（1687年版）

牛頓運動第二定律是表明「物體的加速度與物體所受的凈力成正比，並和物體的質量成反比」。而物體加速的方向與凈力的方向相同。

而以物理學本質的觀點來看，牛頓運動第二定律亦可以表述為「物體的动量的随时间的变化率和所受外力之和成正比」。即动量对时间的一阶导数等于外力之和。

[编辑] 證明實驗

證明實驗是證明牛頓運動第二定律中，「物體的加速度與物體所受的淨力成正比，並和物體的質量成反比」是正確。

[编辑] 證明物體的加速度與物體所受的淨力成正比

由於是為了證明物體的加速度與物體所受的凈力的關係，所以物體的質量和摩擦力必須保持不變。

在同一的平面上（確保摩擦力相同），並在靜止狀態，以不同的力量推動質量相同物件，，則可觀察到：

以較大力量推動的物件，在相同的時間內，移動的距離較長。
以較小力量推動的物件，在相同的時間內，移動的距離較短。

假設：

t為時間
d_L為受較大力量推動的物件的移動距離
d_s為受較小力量推動的物件的移動距離

因為較大力量推動的物件的移動距離較受小力量推動的遠，所以：

d L > d s

因此，得出它們的速率的不等式：

$\frac {d_{L}}{t} > \frac {d_{s}}{t}$

所以，受較大力量推動的物件的速率比受較小力量推動的物件的速率大。

由此，可得它們的加速度的不等式：

$\frac {\left( \frac {d_{L}}{t}\right) - 0}{t} > \frac {\left( \frac {d_{s}}{t}\right) - 0}{t}$

簡化後，得出：

$\frac {d_{L}}{t^2} > \frac {d_{s}}{t^2}$

而距離除以時間的二次方正是加速度。

由此可得出，愈大力量推動的物件，物件的加速率也愈大；愈小力量推動的物件，物件的加速率也愈小。所以兩者成正比例。

因此，「物體的加速度與物體所受的凈力成正比」是正確的。所以：

${\mathbf{a}} \propto {\mathbf{F}}$

F = 物體所受的淨力
a = 物體的加速度

[编辑] 證明物體的加速度與物體的質量成反比

由於是為了證明物體的加速度與物體的質量的關係，所以物體所受的淨力必須保持不變。也是「推力」和摩擦力都要保持不變。

為了盡量做出「相同的力」，可以把同一條橡根（皮）圈拉至相同的長度，便能得出相同的張力。把拉直了的橡根（皮）圈的其中一邊拉在物件的頂點上，便能以相同的張力拉動物件。

在同一的平面上（確保摩擦力相同），並在靜止狀態，以相同的力量推動質量不同物件，則可觀察到：

在相同的時間，質量較大的（較重的）物件，移動的距離較短。
在相同的時間，質量較小的（較輕的）物件，移動的距離較長。

假設：

t為時間
d_H為質量較大的物件的移動距離
d_l為質量較小的物件的移動距離

因質量較大的物件，移動的距離較質量較小的短，所以：

d H < d l

因此，得出它們的速率的不等式：

$\frac {d_{H}}{t} < \frac {d_{l}}{t}$

所以，受較大力量推動的物件的速率比受較小力量推動的物件的速率大。

由此，可得它們的加速度的不等式：

$\frac {\left( \frac {d_{H}}{t}\right) - 0}{t} < \frac {\left( \frac {d_{l}}{t}\right) - 0}{t}$

簡化後，得出：

$\frac {d_{H}}{t^2} < \frac {d_{l}}{t^2}$

而距離除以時間的二次方正是加速度。

由此可得出，質量愈大的物件，物件的加速率愈小；質量較愈小的物件，物件的加速率愈大。所以兩者成反比例。

因此，「證明物體的加速度與物體的質量成反比」是正確的。所以：

${\mathbf{a}} \propto \frac {1}{\mathit{m}}$

m = 物體所受的質量
a = 物體的加速度

[编辑] 證明實驗的結論

假設：

F = 物體所受的淨力
m = 物體質量
a = 物體的加速度
k = 常數項

因為以上實驗，得出：

$\begin{cases} {\mathbf{a}} \propto {\mathbf{F}} \\ {\mathbf{a}} \propto \frac {1}{\mathit{m}} \end{cases}$

${\mathbf{a}} \propto \frac {\mathbf{F}}{\mathit{m}}$

以以上假設之未知數作出的證明實驗的公式，最後得出：

${\mathbf{F}} \propto m{\mathbf{a}}$

${\mathbf{F}} = \mathit{k} m {\mathbf{a}}$

若依照國際單位制，即凈力的單位為N，質量單位為kg，加速率的單位為米每平方秒（m s^-2）。由於，當一件1 kg的物件以1m s^-2加速時，淨力為1牛頓，因此，常數項（k）為1。因此，此公式可簡化為：

F = m a

[编辑] 結論

因為「物體的动量的随时间的变化率和所受外力之和成正比」，所以在物理學上有一道公式，還更常用的。公式為：

$F = \frac {d \mathbf{p}}{dt} = \frac {d \mathbf{(m*v)}}{dt} = m \frac {d \mathbf{v}}{dt}+v \frac {d \mathbf{m}}{dt}$

其中p為動量，m為質量，v為速率，t為時間，d為微分算符。由于在非相对论情形下， $\frac {d \mathbf{m}}{dt}$ 近乎零，所以，常简写作

${F} = m \frac {d \mathbf{v}}{dt}$

[编辑] 相關條目

伊萨克·牛顿
牛頓運動定律
- 牛頓運動第一定律
- 牛頓運動第二定律
- 牛頓運動第三定律
物理学定律列表

[编辑] 參考文獻

J.L. Meriam, L.G. Kraige, "Engineering Mechanics: Dynamics," 3th Edition, ISBN 0471592730
P.K. Tao, H.M. Lee, "New Physics at Work: Mechanics" 1st Edition, ISBN 0-19-545778-1

来自“http://www.wikilib.com/wiki/%E7%89%9B%E9%A0%93%E9%81%8B%E5%8B%95%E7%AC%AC%E4%BA%8C%E5%AE%9A%E5%BE%8B”

个人工具