特徵理論

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在數學裡，尤其是在群表示理論裡，一個群表示的特徵(character)是指一個將群的每個元素連結至表示空間這個體內的每個元素之函數。特徵蘊藏著群的許多重要性質，且因此可以用來做群的研究。

特徵理論是對有限簡單群分類的一個有重要的工具。在范特-湯普遜定理證明接近一半的地方會有一個用到特徵值的複雜計算。另外還有一些較簡單但一樣重要的結論需用在特徵理論，如柏恩賽德定理及理查·布勞爾和鈴木通夫所證出之定理，此定理表示有限簡單群不會有一個為廣義四元群的西洛2-子群。

[编辑] 定義

設V為一個體F上的有限維向量空間且設 $\rho\colon G\to\mathrm{GL}(V)$ 為一個群G於V上的表示。則ρ的特徵即為如下給定之函數 $\chi_{\rho}\colon G\to F$ given by

$\chi_{\rho}(g) = \mathrm{Tr}(\rho(g))\,$

其中 $Tr$ 為矩陣的跡數。

一個特徵χ_ρ若被稱為是不可約的，即表示ρ是一個不可約表示。若被稱為是線性的，則表示ρ的維度等於1。χ_ρ的核為集合

$\ker \chi_{\rho} := \left \lbrace g \in G \mid \chi_{\rho}(g) = \chi_{\rho}(1) \right \rbrace$

其中 $χ ρ (1)$ 是χ_ρ在群單位元上的值。當ρ是G的k維表示且1為G的單位元時，

$\chi_{\rho}(1) = \operatorname{Tr}(\rho(1)) = \operatorname{Tr} \begin{bmatrix}1 & & 0\\ & \ddots & \\ 0 & & 1\end{bmatrix} = \sum_{i = 1}^k 1 = k = \dim \rho$

和特徵群的情況不同，一個群的特徵通常不會自己「形成」一個群。

[编辑] 性質

特徵是一個類函數，即為對一個共軛類內的所有元素來說，χ會是個常數。

同構表示會有相同的特徵。若char(F)=0，即會有表示為同構的若且唯若其有著相同的特徵之敘述。

若一個表示可以是多個子表示的直和，其相對應的特徵則會是其子表示個別的特徵之總和。

每個特徵 $\chi\ (g)$ 都會是n個m次單位根之總和，其中n為表示內體的維度，m則是g的目。

若F是代數封閉的且char(F)不可以整除|目|G|，則G的不可約特徵之數量會等同於G的共軛類數。

[编辑] 算術性質

令 $ρ$ 和 $σ$ 為G的兩個表示，則下列的等式都會成立：

$\chi_{\rho \oplus \sigma} = \chi_\rho + \chi_\sigma$

$\chi_{\rho \otimes \sigma} = \chi_\rho \cdot \chi_\sigma$

$\chi_{\rho^*} = \overline {\chi_\rho}$

$\chi_{\textrm{Alt}^2 \rho}(g) = \frac{1}{2} \left[ \left(\chi_\rho (g) \right)^2 - \chi_\rho (g^2) \right]$

$\chi_{\textrm{Sym}^2 \rho}(g) = \frac{1}{2} \left[ \left(\chi_\rho (g) \right)^2 + \chi_\rho (g^2) \right]$

其中 $\rho \oplus \sigma$ 為兩者的直和、 $\rho \otimes \sigma$ 為兩者的張量積、 $ρ *$ 為 $ρ$ 的共軛轉置、以及Alt代表交替積 $\textrm{Alt}^2 \rho = \rho \wedge \rho$ 而Sym則代表對稱方，其值為下式決定

$\rho \otimes \rho = \left(\rho \wedge \rho \right) \oplus \textrm{Sym}^2 \rho$ .

[编辑] 特徵表

一個有限群的不可約特徵可以形成一個特徵表，其蘊含著許多有關群G在緊緻形式時的有用資訊。每一行標記著一個不可約特徵且包含著此一特徵在每個G的共軛類上的值。

下面是有三個元素之循環群C₃的特徵表：

	(1)	(u)	(u²)
1	1	1	1
χ₁	1	u	u²
χ₂	1	u²	u

其中的u為一個原三次單位根。

特徵表總會是正方的，因為不可約表示的數目總會相等於共軛類的數目。特徵表的第一個行總會是1，其對應至群的當然表示上。

[编辑] 正交關係

有關特徵表最重要的性質之一為其在行與列上都會有著正交關係。

對特徵(即對特徵表中的行)的內積由下給出：

$\left \langle \chi_i, \chi_j \right \rangle := \frac{1}{ \left | G \right | }\sum_{g \in G} \chi_i(g) \overline{\chi_j(g)}$ 其中 $\overline{\chi_j(g)}$ 表示

χ j

在g上的值的複數共軛。

對於此一內積而言，不可約特徵會相互正規正交： $\left \langle \chi_i, \chi_j \right \rangle = \begin{cases} 0 & \mbox{if} i \ne j, \\ 1 & \mbox{if} i = j. \end{cases}$

對表中的列的正交關係則由下列給出：

對 $g, h \in G$ ，其和為 $\frac{1}{ \left | G \right | }\sum_{\chi_i} \chi_i(g) \overline{\chi_i(h)} = \begin{cases}1/\left | C_G(g) \right |, & \mbox{ if } g, h \mbox{ are conjugate } \\ 0 & \mbox{ otherwise.}\end{cases}$

其中相加的範圍為所有G的不可約特徵 $χ i$ ，而符號 $\left | C_G(g) \right |$ 則表示為g的共軛類之大小。

此一正交關係可以幫助許多的運算，如：

將一個未知特徵分解成不可約特徵的線性組合。
當只有一些不可約特徵為可知時，建構其完整的特徵表。
求出群的共軛類的表示的中心化子的目。
求出群的目。

[编辑] 特徵表性質

一個群G的某些性質可以由其特徵表中推導出來：

G的目可以由表上所有特徵之(χ(1))²的總合。
G是可換的若且唯若對每個在表上的特徵，χ(1) = 1。
G有一個非當然正規子群(即G不是一個簡單群)若且唯若對於某些表上的非當然特徵χ和一些於G內的非單位元素g，會有χ(1) = χ(g)。

特徵表通常不會將群分至同構：例如，四元群Q和有8個元素的二面體群D₄會有同樣的特徵表。

對有限群之特別例子，詳見有限群表示理論。

一維表示的特徵會形成一個特徵群，其和數論中有著很重要的關連。

[编辑] 參考文獻

Fulton, William; and Harris, Joe (1991). Representation Theory, A First Course. Springer, New York. ISBN 0-387-97495-4.

 見第2章

Isaacs, I.M. (1994). Character Theory of Finite Groups. Dover. ISBN 0-486-68014-2.

1976年原版的修正重印版，由Academic Press所出版

James, Gordon; and Liebeck, Martin (2001). Representations and Characters of Groups (2nd ed.). Cambridge University Press. ISBN 0-521-00392-X.

http://planetmath.org/encyclopedia/Character.html
化學中重要的點群的特徵表 - 列出了大多數的點群並其在化學中使用之符號的特徵表。

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