环

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环(Ring)的定義类似于群，只不过在原有的+的基础上又增添另一种运算·(注意我们这里所说的 + 和·一般不是通常意义下我们所熟知的加法和乘法）。 在抽象代数中，研究环的分支为环论。

[编辑] 环的定义

一个环是由一个集合R和两种双元运算（binary operation）+和·组成，这两种运算可称为加法和乘法。一个环必须遵守以下规律：

• (R, +)形成一个可换群，其单位元称作零元素，记作‘0’。即：

• (a + b) = (b + a)
• (a + b) + c = a + (b + c)
• 0 + a = a + 0 = a
• ∀a ∃(−a) 满足 a + −a = −a + a = 0

• (R, ·)遵守：

• 1·a = a·1 = a （仅限于含幺环）
• (a·b)·c = a·(b·c)

• 乘法关于加法满足分配律：

• a·(b + c) = (a·b) + (a·c)
• (a + b)·c = (a·c) + (b·c)

注意乘法中的·常常被省略，所以 a·b 可简写为 ab。 此外，乘法是比加法優先的运算，所以 a + bc 其实是 a + (b·c)。

在环的定义中，对于乘法单位(1)的存在并没有做明确的要求。如果一个环对于乘法有单位元存在(称幺元素或幺元或单位元，记作‘1’)，则这个环称为含幺环或含单位元环。

虽然环的定义要求加法具有交换律，但并没有要求乘法也具有交换律。如果我们上面定义的乘法具有交换性：ab=ba，那么这个环就称为交换环。

[编辑] 例子

• 整数是一个典型的交换且含单位环。
• 有理数，实数，复数都是交换且含单位环。
• 多项式是一个环当且仅当它所有项的系数包含于一个环中。
• n为正整数，所有n×n的实数矩阵构成一个环。

[编辑] 有关环的其它概念

• 理想（Ideal）; 商环请参见环的同态与同构；
• 素理想(prime ideal)，极大理想(maximal ideal)；
• 主理想(principal ideal)，主理想环；
• 唯一因子分解整环(UFD)；
• 零因子(zero divisor)：设b是环中的非零元素，称a为左零因子，如果ab=0；同样可以定义右零因子。通称零因子；
• 逆元见群；

与抽象代数相关主题

代数系统 | 群 | 半群 | 幺半群 | 环 | 整环 | 除环 | 多项式环 | 域 | 伽罗瓦域 | 本原元 | 格

同态 | 同构 | 商结构(商系统)