环的同态与同构

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[编辑] 理想

讓R是個環及(R,+)是阿貝爾群。I是R的子集合。右理想的條件如下：

   * (I,+) 是 (R,+)的子群。
   *

左理想的條件如下：

   * (I,+) 是 (R,+)的子群。
   *

當R是交換環，左右理想重疊，便簡稱為理想。如果I是R的子集合，I就是正當理想。正當理想I被稱為最大理想便要沒有其他理想J,而I是J的子集合。一个正规理想叫做素理想，如果对所有 $ab\in I$ 有 $a\in I$ 或 $b \in I$ 成立。

$\forall x \in I, x = \sum_{k=0}^{n} r_{k} i_{k}$

ik 是I的元素及 rk 是R的元素,我們可以說I是有限地產生。如果I是由一個元素產生的，我們I稱為主理想。

如果A是R環的任意子集合，我們可以說A所產生的理想是最小理想；記作<A>或(A)並且包含所有有限總和

   r₁a₁s₁ + ··· + r_na_ns_n

其中每个r_i和s_i属于R而每个a_i属于A。上述主理想是最小理想在A为单集{a}时的特殊情况。

環同態是指兩個環之間的函數適合加法與乘法。

當R與S都是環，環同態是函數f : R → S 導致

   * 
   * 
   *  $f (1) = 1$

(如果這個環不需要乘法單位元，便忽略最後的條件。)

兩個環同態合併都是環同態。

環同構是雙射環同態。

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