玻尔模型

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玻尔模型是丹麦物理学家尼尔斯·玻尔于1913年提出的关于氢原子结构的模型。玻尔模型引入量子化的概念，使用经典力学研究原子内电子的运动，很好地解释了氢原子光谱和元素周期表，取得了巨大的成功。玻尔模型是20世纪初期物理学取得的重要成就，对原子物理学产生了深远的影响。

[编辑] 玻尔模型的提出

丹麦物理学家尼尔斯·玻尔（1885—1962）

20世纪初期，德国物理学家普朗克为解释黑体辐射现象，提出了量子论，揭开了量子物理学的序幕。19世纪末，瑞士数学教师巴耳末将氢原子的谱线表示成巴耳末公式，瑞典物理学家里德伯总结出更为普遍的光谱线公式里德伯公式：

$\frac{1}{\lambda}=R(\frac{1}{n^{2}\frac{1}{n'^{2}})\qquad n=1,2,3\cdots,\quad n'=n+1,n+2,n+3\cdots$ }-

其中 $λ$ 为氢原子光谱波长，R为里德伯常数。

然而巴耳末公式和式里德伯公式都是经验公式，人们并不了解它们的物理含义。

1911年，英国物理学家卢瑟福根据1910年进行的α粒子散射实验，提出了原子结构的行星模型。在这个模型里，电子像太阳系的行星围绕太阳转一样围绕着原子核旋转。但是根据经典电磁理论，这样的电子会发射出电磁辐射，损失能量，以至瞬间坍缩到原子核里。这与实际情况不符，卢瑟福无法解释这个矛盾。

1912年，正在英国曼彻斯特大学工作的玻尔将一份被后人称作《卢瑟福备忘录》的论文提纲提交给他的导师卢瑟福。在这份提纲中，玻尔在行星模型的基础上引入了普朗克的量子概念，认为原子中的电子处在一系列分立的稳态上。回到丹麦后玻尔急于将这些思想整理成论文，可是进展不大。

1913年2月4日前后的某一天，玻尔的同事汉森拜访他，提到了1885年瑞士数学教师巴耳末的工作以及巴耳末公式，玻尔顿时受到启发。后来他回忆到“就在我看到巴耳末公式的那一瞬间，突然一切都清楚了，”“就像是七巧板游戏中的最后一块。”这件事被称为玻尔的“二月转变”。

1913年7月、9月、11月，经由卢瑟福推荐，《哲学杂志》接连刊载了玻尔的三篇论文^[1]^[2]^[3]，标志着玻尔模型正式提出。这三篇论文成为物理学史上的经典，被称为玻尔模型的“三部曲”。

[编辑] 玻尔模型的主要内容

氢原子中的电子围绕原子核做圆周运动，运动的轨道是经典轨道。电子做圆周运动的向心力是由电子和原子核之间的库仑力提供的，即：

$m_e\frac{v^2}{r} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{e^2}{r^2}$

而电子的能量是动能加势能：

$E = K + V = \frac12 m_e v^2 - \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0r} = -\frac{e^2}{8\pi\varepsilon_0r}$

所以電子的軌道週期是：

$T^2 = \frac{16\pi^3\varepsilon_0 m_e}{e^2} r^3$

因此電子的公轉頻率是：

$\nu = \frac1T = \frac e\pi(\pi\varepsilon_{0}m_e)^{-1/2}r^{-3/2} = \frac{4\varepsilon_0} {e^2}(\frac{2}{m_e})^{1/2}|E|^{3/2}\,$

而根據電磁學，電磁幅射頻率是等於電子的公轉頻率。

但光譜中的幅射頻率並不等於電子的公轉頻率，所以玻尔模型主要基于以下条件：

玻尔模型的简单示意图。

[编辑] 定态条件

原子只能夠穩定地存在於一系列的離散的能量狀態之中，稱為定態，原子要有任何能量的改變，都必須要在兩個定態之間以跃迁的方式進行；所以电子只能处在一系列分立的定態上，并且不产生电磁辐射。

[编辑] 频率条件

当兩個定態間的跃迁时，以电磁波的形式放出或吸收能量，其頻率的值為 $\nu\,$ 是唯一的並且有：

h ν = Δ E = E n' - E n

结合里德伯公式可以得到

$E_n=-\frac{Rhc}{n^2}$

代入电子能量的表达式可以得到电子运动的轨道半径：

$r_n=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{e^2}{2Rhc}n^2$

[编辑] 结果

根据以上条件可以计算出，电子的能量：

$E_n=-\frac{m_e e^{4}}{2n^2 h^2 \varepsilon_0^2}=-\frac12m_e(\alpha c)^2\frac{1}{n^2}$

其中α是精细结构常数，其大小约为1/137。电子的轨道半径：

$r_n = n^2\frac{\varepsilon_0 h^2}{\pi m_e e^2}$

里德伯常数：

$R=\frac{2 \pi^2 m_e e^4}{(4 \pi \varepsilon_0)^2 c h^{3}}$

由玻尔模型可以计算出几个表征原子常用的物理量：电子的第一轨道半径（n=1）：

$r_{1}=\frac{\varepsilon_0h^2}{\pi m_e e^2}\simeq 0.053 nm$

通常用a₀表示，称为玻尔半径。

电子在第一个轨道上运动的速度（n=1）：

$v_{1}=\alpha c \simeq\frac{1}{137}c$

称为玻尔第一速度，它表示电子在原子中的运动速度通常约为光速的1/137。

将氢原子的电子从基态移动到无限远处所需要的能量，即氢原子的电离能：

$E_\infty = \frac12m_e(\alpha c)^2\simeq 13.6 eV$

所以氢原子电子基态的能量约为-13.6eV。其余各态的能量为：

$E_n = -\frac{13.6 eV}{n^2}$

玻尔根据对应原理，结合里德伯公式提出了角动量量子化条件：

$L = m_e v r = \frac{nh}{2\pi} = n \hbar ,\qquad n=1,2,3\cdots$

亦即是後期的玻爾-索末菲作用量量子條件的前身:

$J=\oint p\, dq =nh ,\qquad n=1,2,3\cdots$

[编辑] 修正

英国光谱学家福勒（A.Fowler）质疑：应用玻尔模型计算出里德伯常数的数值 $R=109 737.315\,\mathrm{cm}^{-1}$ ；而实验值 $R=109 677.58\,\mathrm{cm}^{-1}$ ，二者相大约万分之五。1914年，玻尔提出，这是因为原来的模型假设原子核静止不动而引起的。实际情况是，原子核的质量不是无穷大，它与电子绕共同的质心转动。玻尔对其理论进行了修正，用原子核和电子的折合质量 $\mu = \frac{m_e M}{m_e + M}$ 代替了电子质量。这样的话，不同原子的里德伯常数R_A不同，

$R_A = \frac{R}{1 + m_e/M}$

电子到质心的距离仍为原来理论中的第一轨道半径，与原子核的质量无关。

[编辑] 玻尔模型的实验验证

1897年，美国天文学家皮克林在恒星弧矢增二十二的光谱中发现了一组独特的线系，称为皮克林线系。皮克林线系中有一些谱线靠近巴耳末线系，但又不完全重合，另外有一些谱线位于巴耳末线系两临近谱线之间。起初皮克林线系被认为是氢的谱线，然而玻尔提出皮克林线系是类氢离子He⁺发出的谱线。随后英国物理学家埃万斯在实验室中观察了He⁺的光谱，证实玻尔的判断完全正确。

和玻尔提出玻尔模型几乎同一时期，英国物理学家亨利·莫斯莱测定了多种元素的X射线标识谱线，发现它们具有确定的规律性，并得到了经验公式——莫塞莱公式。莫塞莱看到玻尔的论文，立刻发现这个经验公式可以由玻尔模型导出，为玻尔模型提供了有力的证据。

1914年，夫兰克和赫兹进行了用电子轰击汞蒸汽的实验，即夫兰克-赫兹实验。实验结果显示，汞原子内确实存在能量为4.9eV的量子态。1920年代，夫兰克和赫兹又继续改进实验装置，发现了汞原子内部更多的量子态，有力地证实了玻尔模型的正确性。

1932年尤雷（H.C.Urey）观察到了氢的同位素氘的光谱，测量到了氘的里德伯常数，和玻尔模型的预言符合得很好。

[编辑] 玻尔模型的推广

随着光谱实验水平的提高，人们发现了光谱具有精细结构。1896年，迈克尔逊和莫雷观察到了氢光谱的H_α线是双线，随后又发现是三线。玻尔提出这可能是电子在椭圆轨道上做慢进动引起的。1916年索末菲在玻尔模型的基础上将圆轨道推广为椭圆形轨道，并且引入相对论修正，提出了玻尔-索末菲模型。在考虑椭圆轨道和相对论修正后，索末菲计算出了H_α线的精细结构，与实验相符。然而进一步的研究发现，这样的解释纯属巧合。H_α线的精细结构有7条，必须彻底抛弃电子轨道的概念才能完全解释光谱的精细结构。

[编辑] 玻尔模型的困难

玻尔模型将经典力学的规律应用于微观的电子，不可避免地存在一系列困难。根据经典电动力学，做加速运动的电子会辐射出电磁波，致使能量不断损失，而玻尔模型无法解释为什么处于定态中的电子不发出电磁辐射。玻尔模型对跃迁的过程描写含糊。因此玻尔模型提出后并不被物理学界所欢迎，还遭到了包括卢瑟福、薛定谔在内的诸多物理学家的质疑。玻尔曾经的导师、剑桥大学的约瑟夫·汤姆生拒绝对其发表评论。薛定谔甚至评价说是“糟透的跃迁”^[4]。

此外，玻尔模型无法揭示氢原子光谱的强度和精细结构，也无法解释稍微复杂一些的氦原子的光谱，以及更复杂原子的光谱。因此，玻尔在领取1922年诺贝尔物理学奖时称：“这一理论还是十分初步的，许多基本问题还有待解决。”

玻尔模型引入了量子化的条件，但它仍然是一个“半经典半量子”的模型。完全解决原子光谱的问题必须彻底抛弃经典的轨道概念。尽管玻尔模型遇到了诸多困难，然而它显示出量子假说的生命力，为经典物理学向量子物理学发展铺平了道路。

[编辑] 参阅

[编辑] 参考文献

↑ Niels Bohr. On the Constitution of Atoms and Molecules. Phil.Mag. 26(1913)1.
↑ Niels Bohr. Systems Containing Only a Single Nucleus. Phil.Mag. 26(1913)476.
↑ Niels Bohr. Systems Containing Several Nuclei. Phil.Mag. 26(1913)857.
↑ W.Heisenberg. Physics & Beyond. Harper & Row Pub. (1972)75.

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