球 (数学)

数学上，球指球面内部包围的区域。这一概念不仅使用在三维空间中，而且在任意度量空间中都成立。在某些数学书籍中也有称之为碟。

[编辑] 度量空間

在度量空間中, 一個球是一個集合，包含所有到某個固定點的距離不大于某个值的點。

設 M 為度量空間，以 M 中的點 p 為圓心，以 r > 0 為半徑的開球為：

其中，d 為距離函數或量度。

若將上述定義中的小於（<）改為小於等於（≤），則上式成為閉球的定義：

若半徑必為1，則該球稱為單元球。在 n-維歐氏空間，一個閉單位球一般記作 Dn.

[编辑] 性质

• 由于 r > 0，无论是开球还是闭球，点 p 总是属于上述定义的球。

• 度量空間內任意一個開集都可以看成為開球的并集。

• 若度量空間的子集被一個球裝著，则该集合为有限集（en:Bounded set）。

[编辑] 欧几里德几何

在 n-維欧几里德空间中，按照一般欧几里德度量，若空間是一條線，那球就是区间；若空間是一個平面，那球就是圓內的碟。

三维情形的球表达式，表面积，体积公式请参见球面。

[编辑] 相关概念

• 橢球體（橢球）：由橢圓發展出來的類球體，所以有三個三維座標軸長，當其中兩個軸的長度相等，則會是扁圓或高圓。其切面是橢圓，但在獨立長度軸為法線的面的切面是圓形。
  • 扁球：高比長的類球體。
  • 高球：高圓或扁高類球體，是「高」長過「長」的類球體。
• 半球體（半球）：將圓球切開一半的立體。

[编辑] 拓撲學

拓扑上，球有两个含义，由上下文决定。

（开）球一词有时被非正式地用于指代任何开集：可以用“p点周围的一个球”代表包含p的一个开集。该集合同胚于什么依赖于背景拓扑空间以及所选取的开集。同样，闭球有时用于表示这样一个开集的闭包。（这可能产生误导，例如超度量空间中一个闭球不是同样半径的开球的闭包，它们都是既开且闭的。） 有时，邻域用于指代这个意义上的球，但是邻域其实有更一般的意义：p的一个邻域是任何包含一个p的开集的集合，因此通常不是开集。

而且（更正式一点），一个（开或者闭）球是一个拓扑空间同胚于一个几何学中描述的（开或者闭）的欧氏球，但可能没有它的度量。一个球由它的维度给定：一个n维球称为n-球并记为Bⁿ 或者Dⁿ。对于不同的n和m，一个n-球不同胚于一个m-球。球不必是光滑的；若它光滑，它不必微分同胚于该欧氏球

[编辑] 參看

• 亚历山大带角球（Alexander horned sphere）
• 流形