理想 (环论)

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2个分类: 抽象代数 | 環論

理想（Ideal）是一个抽象代数中的概念。

右理想：令R是环，那么环R与其加法 + 构成阿贝尔群。令I是R的子集。那么I称为R的右理想如果以下条件成立：

(I, +) 构成 (R, +) 的子群。
对于任意 $i \in I$ 和 $r \in R$ 有 $i r \in I$ 。

左理想：类似地，I称为R的左理想如果以下条件成立：

(I, +) 构成 (R, +) 的子群。

对于任意 $i \in I$ 和 $r \in R$ 有 $r i \in I$ 。

如果I既是右理想，也是左理想，那么I就叫做双边理想，简称理想。

例子：

- 整数环的理想：整数环Z只有形如的nZ理想。

- 除环的理想：除环中的(左或右)理想只有平凡(左或右)理想。

[编辑] 一般性质

定理1 在环中，(左或右)理想的和仍然是(左或右)理想。

定理2 在环中，(左或右)理想的交仍然是(左或右)理想。

对于R的两个理想A，B，记 $AB=\left\{ \sum_{k=0}^{n} a_{k}b_{k}| a_{k} \in A,b_{k} \in B \right\}$ 。按定义不难证明下面的基本性质：

(1) 如果A是R的左理想，则AB是R的左理想；

(2) 如果B是R的右理想，则AB是R的右理想；

(3) 如果A是R的左理想，B是R的右理想，则AB是R的双边理想。

[编辑] 生成理想

如果A环R的一个非空子集，令<A>=RA+AR+RAR+ZA，则<A>是环R的理想，这个理想称为R中由A生成的理想, A称为生成元集。同群的生成子群类似，<A>是R中所有包含A的理想的交,因此是R中包含A的最小理想。下面是生成理想的几种特殊情况：

(1) 当是交换环时，<A>=RA+ZA

(2) 当是有单位元1的环时，<A>=RAR

(3) 当是有单位元交换环时，<A>=RA

[编辑] 主理想

如果 $A=a_{1},a_{2}\cdots a_{n}$ 是个n元集合，则记 $\left \langle A \right \rangle =\left \langle a_{1},a_{2}\cdots a_{n} \right \rangle$ ，称 $\left \langle A \right \rangle$ 是有限生成理想.特别当 $A= \left\{ a\right\}$ 是单元素集时，称 $\left \langle A \right \rangle =\left \langle a \right \rangle$ 为环R的主理想。注意 $\left\{ a\right\}$ 作为生成元一般不是唯一的，如 $\left \langle a \right \rangle =\left \langle -a \right \rangle$ 。 $\left \langle a \right \rangle$ 的一般形式是：

$\left \langle a \right \rangle =\left\{ \sum_{k=1}^{m} x_{k}ay_{k}+sa+at+na| x_{k},y_{k},s,t \in R, n,m \in Z \right\}$

性质： $\left \langle A \right \rangle =\sum_{a \in A} \left \langle a \right \rangle$

几类特殊环中的主理想：

(1) 如果是交换环，则 $\left \langle a \right \rangle =\left\{sa+na| s \in R, n \in Z \right\}$

(2) 如果是有单位元的环，则 $\left \langle a \right \rangle =\left\{ \sum_{k=1}^{m} x_{k}ay_{k}| x_{k},y_{k} \in R, m \in Z, m>0 \right\}$

(3) 如果是有单位元的交换环，则 $\left \langle a \right \rangle =\left\{sa| s \in R \right\}$

[编辑] 真理想、极大理想、素理想

真理想：如果I是R的真子集，I就叫做R的真理想。

极大理想：一个真理想I被称为R的极大理想，如果沒有其他真理想J,使得I是J的真子集。

极大左理想：设 I 是环R的左理想，如果并且在 I 与R之间不存在真的左理想，则称 I 是环R的一个极大左理想。极大左理想与极大理想之间有如下关系：
- (1)如果 I 是极大左理想，又是双边理想，则 I 是极大理想。
- (2)极大理想未必是极大左理想。

除环的零理想是极大理想。在有单位元的环中，如果零理想是其极大理想,称这种环是单环。除环是单环，域也是单环。反之则不对，即存在不是除环的单环。
定理1 在整数环Z中，由p生成的主理想是极大理想的充分必要条件是：p是素数。
定理2 设R是有单位元1的交换环。理想 I 是R的极大理想的充分且必要条件是：商环 $R / I$ 是域。
定理3 设 I 是环R的左理想，则 I 是R的极大左理想的充分必要条件是对R的任意一个不含在 I 中的左理想J都有 $I + J = R$ 。

素理想：真理想I被称为R的素理想，如果对于R的任意理想A，B， $AB\subseteq I$ 可推出 $A\subseteq I$ 或 $B \subseteq I$ 。
素环：如果环R的零理想是素理想，则称R是素环(或质环)。无零因子环是素环。在交换环R中，真理想 I 是素理想的充分且必要条件是： $R / I$ 是素环.
半素理想：设 I 是环R的理想，并且 $I \neq R$ 。如果对任意理想P，由 $P^2\subseteq I$ ，可得 $P\subseteq I$ ，则称 I 是环R的半素理想。