相亲数

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1个分类: 数论

“朋友是你灵魂的倩影，要像220与284一样亲密。”
——毕达哥拉斯

相亲数(Amicable Pair)，又称亲和数、友愛數，指兩個正整數中，彼此的全部约数之和（本身除外）与另一方相等。

例如220与284：

220的全部约数(除掉本身)相加是：1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284
284的全部约数(除掉284本身)相加的和是：1+2+4+71+142=220

[编辑] 举例

220、284
1184、1210
2620、2924
5020、5564
6232、6368
10744、10856
12285、14595
17296、18416
63020、76084
66928、66992
67095、71145
69615、87633
79750、88730
……

[编辑] 历史

320年左右，古希腊毕达哥拉斯发现的220与284，是人类认识的第一对相亲数．
约850年，阿拉伯数学家塔別脫·本·科拉就發現了相亲数公式，後來稱為塔別脫·本·科拉法則。
1636年，費馬发现了另一对相亲数：17296和18416。
1638年，笛卡儿也发现了一对相亲数：9363584和9437056。
欧拉也研究过相亲数这个课题。1750年，他一口气向公众抛出了60对相亲数：2620和2924，5020和5564，6232和 6368，……，从而引起了轰动。
1866年，年方16岁的意大利青年巴格尼发现1184与1210是仅仅比220与284稍为大一些的第二对相亲数。
目前，人们已找到了1200多对相亲数。但相亲数是否有无穷多对，相亲数的两个数是否都是或同是奇数，或同是偶数，而没有一奇一偶等，这些问题还有待继续探索。

[编辑] 尋找方法

[编辑] 歐拉法則

對於正整數 $m, n$ ， $m < n$ ， $a = 2 m (2 n - m + 1) - 1$ ， $b = 2 n (2 n - m - 1) - 1$ ， $c = 2 n + m (2 n - m + 1) 2 - 1$ 。若 $a, b, c$ 均為質數，則 $2^n \times ab$ 和 $2^n \times c$ 是相親數。這個法則能找出符合親和數的數對 $(m, n) = (1,2),(3,4),(6,7),(1,8),(29,40)$ ，但 $n < 2500$ 時沒有其他符合的數對。

[编辑] 塔別脫·本·科拉法則

這是歐拉法則 $m = n - 1$ 的特殊情況：第 $n$ 個塔別脫·本·科拉數 $K_n = 3 \times 2^n - 1$ 。若 $K n$ 、 $K n - 1$ 和 $3 \times K_{2n-1} + 2$ 均為質數，則 $2 n K n K n - 1$ 和 $2^n \times 3 \times K_{2n-1} + 2$ 是相親數。

[编辑] 一段列出亲和数和完全数的java程序

import java.util.ArrayList; import java.lang.Math; import java.lang.Double;

public class love_num {

   public static void main(String[] args) 
   {
       int intMain = 2;
       int intBig = 0;
       try
       {
           intBig = Integer.parseInt(args[0].toString());
       }
       catch (Exception e)
       {
           System.out.println("error:" + e);
           System.out.println("type command like \"java love_num 50\"");
           return;
       }
       while (true)
       {
           ArrayList listYakuSu1 = findYakuSu(intMain);
           int intSum1 = addYakuSu(listYakuSu1);
//String strDebug = "";
//String strDebug2 = "";
           if ( intSum1 == intMain )
           {
               System.out.println("self num:" + intSum1);
//for (int i = 0; i < listYakuSu1.size(); i ++)
//{
//      strDebug += listYakuSu1.get(i);
//      strDebug += ",";
//}
//System.out.println("YakuSu:" + strDebug);
           }
           else
           {
               ArrayList listYakuSu2 = findYakuSu(intSum1);
               int intSum2 = addYakuSu(listYakuSu2);
               if ( intSum2 == intMain )
               {
                   System.out.println("love num:" + intMain + "--" + intSum1);
//for (int i = 0; i < listYakuSu1.size(); i ++)
//{
//      strDebug += listYakuSu1.get(i);
//      strDebug += ",";
//}
//System.out.println("YakuSu:" + strDebug);
//for (int i = 0; i < listYakuSu2.size(); i ++)
//{
//      strDebug2 += listYakuSu2.get(i);
//      strDebug2 += ",";
//}
//System.out.println("YakuSu:" + strDebug2);
               }
           }
           intMain ++;
           if (intMain > intBig)
           {
               return;
           }
       }
   }
   public static int addYakuSu (ArrayList listYakuSu)
   {
//System.out.println("addYakuSu start ");
       int sum = 0;
       int temp = 0;
       for (int i = 0; i < listYakuSu.size() ; i ++ )
       {
           temp = Integer.parseInt(listYakuSu.get(i).toString());
           sum += temp;
       }
//System.out.println("addYakuSu end " + sum);   
//System.out.println("");
       return (sum);
   }
   public static ArrayList findYakuSu (int intNum)
   {
//String strDebug = "";
//System.out.println("findYakuSu start " + intNum);
       ArrayList listYakuSu = new ArrayList();
       double dbNum = (double)intNum;
       double dbRoot = Math.sqrt(dbNum);
       Double d = new Double(dbRoot);
       int intRoot = d.intValue() ;
//System.out.println("root:" + intRoot);
//              if (intHalf * 2 == intNum)
//              {
//              }
//              else
//              {
//                      intHalf ++;
//              }
       listYakuSu.add ("1");
       for (int i = 2; i <= intRoot ; i ++)
       {
           int intPart = intNum/i;
           if (intPart * i == intNum)
           {
               if (intPart == i)
               {
                   listYakuSu.add (Integer.toString(i));
//strDebug += Integer.toString(i);
//strDebug += ",";
               }
               else
               {
                   listYakuSu.add (Integer.toString(i));
                   listYakuSu.add (Integer.toString(intPart));
//strDebug += Integer.toString(i);
//strDebug += ",";
//strDebug += Integer.toString(intPart);
//strDebug += ",";
               }
           }
       }
//System.out.println("findYakuSu end:1," + strDebug);
//System.out.println("");
       return (listYakuSu);
   }

}

[编辑] 参看

[编辑] 外部鏈接

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