空集

空集是不含任何元素的集合。

[编辑] 符号

空集符號源自北歐拉丁字母

空集的标准符号由尼古拉·布尔巴基小組创造，寫作，首先見於他們在1939年出版的《數學原本卷一：集合論》。這符號也可写作 ，有时候採用近似字符“Ø”。

这符号源自北欧语言的拉丁字母「Ø」，但常被誤會為希腊字母“φ”。（φ有兩個寫法：小寫的和縮小了的大寫，後者常被誤用為空集符號。的中間为一長豎，中間的圈也較小，與的斜線和大圓不同。）。

提出用北歐字母為符號的，是布爾巴基小組成員安德烈·韦伊。他在自傳寫道：

[J]'étais personnellement responsable de l'adoption du symbole Ø pour l'ensemble vide, ... Le Ø appartenait à l'alphabet norvégien, et j'étais seul dans Bourbaki à le connaître. ^[1]

是我自己負責採用Ø符號表示空集，……Ø屬於挪威語的字母，在布爾巴基只有我懂得。

考虑到浏览器的兼容性，本文採用符号 "{}"。

[编辑] 性质

（这里采用数学符号）。

• 对任意集合 A，空集是 A 的子集；

  ∀A: {} ⊆ A

• 对任意集合 A, 空集和 A 的并集为 A：

  ∀A: A ∪ {} = A

• 对任意集合 A, 空集和 A 的交集为空集：

  ∀A: A ∩ {} = {}

• 对任意集合 A, 空集和 A 的笛卡尔积为空集：

  ∀A: A × {} = {}

• 空集的唯一子集是空集本身：

  ∀A: A ⊆ {} ⇒ A = {}

• 空集的元素个数（即它的势）为零；特别的，空集是有限的：

  |{}| = 0

集合论中，两个集合相等，若它们有相同的元素；那么仅可能有一个集合是没有元素的，即空集是唯一的。

考虑到空集是实数线（或任意拓扑空间）的子集，空集既是开集、又是闭集。空集的边界点集合是空集，是它的子集，因此空集是闭集。空集的内点集合也是空集，是它的子集，因此空集是开集。另外，空集是紧致集合，因为所有的有限集合是紧致的。

空集的闭包是空集。

[编辑] 常见问题

空集不是无；它是内部没有元素的集合，而集合就是有。这通常是初学者的一个难点。将集合想象成一个装有其元素的袋子的想法或许会有帮助；袋子可能是空的，但袋子本身确实是存在的。

有些人会想不通上述第一条性质，即空集是任意集合 A 的子集。按照子集的定义，这条性质是说 {} 的每个元素 x都属于 A。若这条性质不为真，那 {} 中至少有一个元素不在 A 中。由于 {} 中没有元素，也就没有 {} 的元素不属于 A 了，得到 {} 的每个元素都属于 A， 即 {} 是 A 的子集。

[编辑] 公理化集合论

在诸如策梅罗-弗兰克尔集合论的公理化集合论中，空集的存在性是由空集公理确定的。空集的唯一性由外延公理得出。

使用分類公理，任何陈述集合存在性的公理将隐含空集公理。例如：若 A 是集合，则分离公理允许构造集合 B = {x ∈ A | x ≠ x}，它就可以被定义为空集。

[编辑] 存在性和必要性

尽管空集在数学中是一个标准，并被广泛接受，仍然有人对它表示怀疑。

Jonathan Lowe 认为，由于这一概念"无疑是数学历史上的里程碑，……；不需要假设其在计算时的有效性要基于其确实表达了某些对象。"这一概念是否有意义并不清楚。"我们所知的空集只是它 (1) 是个集合，(2) 没有元素，(3) 在没有元素的集合中唯一。然而，有很多东西'没有元素'，以集合论来看，叫做非集合。为什么它们没有元素是显而易见的，因为它们不是集合。不清楚地是，为什么在集合中，没有元素的集合是唯一的。仅仅通过约束是不可能将这么一个实体变出来的。"

在 "To be is to be the value of a variable…"，Journal of Philosophy，1984 （在书 Logic, Logic and Logic 中再次发表）中，小 George Boolos 认为可以更进一步，只将个体进行复数量化，而不具体化集合成将其他实体作为元素的实体。

[编辑] 空集的运算

空集（作为集合）上的运算也可能使人迷惑。（这是一种空运算。） 例如：空集元素的和为 0，而它们的积为 1（见空积）。 这可能看上去非常奇怪，空集中没有元素，他们是怎么相加和相乘的呢？ 最终，这些运算的结果更多被看成是运算的问题，而不是空集的。比如，可以注意到 0 是加法的单位元，而 1 是乘法的单位元。

[编辑] 空集和 0

根据定义，空集有 0 个元素，或者称其势为 0。然而，这两者的关系可能更进一步：在标准的自然数的集合论定义中，0 被定义为空集。

[编辑] 范畴论

若 A 为集合，则恰好存在从 {} 到 A 的函数 f，即空函数。 结果，空集是集合和函数的范畴的唯一初始对象。

空集只能通过一种方式转变为拓扑空间，即通过定义空集为开集；这个空拓扑空间是有连续映射的拓扑空间的范畴的唯一初始对象。

[编辑] 注釋