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等价关系

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1个分类: 数学关系

设 $R$ 是集合 $A$ 上的一个二元关系，若 $R$ 满足：

自反性： $\forall x \in A,~~x R x$
对称性： $\forall x, y \in A,~~ x R y ~~ \implies ~~y R x$
传递性： $\forall x, y, z \in A, ~~~( x R y ~~ \wedge ~~ y R z) ~~\implies~~x R z$

则称 $R$ 是定义在 $A$ 上的一个等价关系。

例如，设 $A = \{1, 2, \ldots, 8\}$ ，定义 $A$ 上的关系 $R$ 如下：

$R = \{ (x, y) | x, y \in A \wedge x \equiv y (\mod~3) \}$

其中 $x \equiv y (\mod~3)$ 叫做 $x$ 与 $y$ 模 3 同餘，即 $x$ 除以 3 的餘数与 $y$ 除以 3 的餘数相等。不难验证 $R$ 为 $A$ 上的等价关系。

[编辑] 参见

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