等于

数学上，两个数学对象是相等的，若他们在各个方面都相同。这就定义了一个二元谓词等于，写作“=”；x = y 当且仅当 x 和 y 相等。通常意义上，等于是通过两个元素间的等价关系来构造的。将两个表达式用等于符号连起来，就构成了等式。

注意，有些时候“A = B”并不表示等式。例如，T(n) = O(n²) 表示在数量级 n² 上渐进。这里，符号“=”不是等于符号；实际上，O(n²) = T(n) 是没有意义的。请参见大O符号了解这部分内容。

集合 A 上的等于关系是种二元关系，满足自反性，对称性，反对称性和传递性。 实际上，这是 A 上唯一满足所有这些性质的关系。 去掉对反对称性的要求，就是等价关系。 相应的，给定任意等价关系 R，可以构造商集 A/R，并且这个等价关系将‘下降为’ A/R 上的等于。

在任何条件下都成立的等式称为恒等式，包含未知数的等式称为方程。

[编辑] 逻辑形式

谓词逻辑含有标准的关于相等的公理来形式化莱布尼茨律。莱布尼茨律是由哲学家莱布尼茨在17世纪提出来的。 莱布尼茨的想法是，两样物体是同一的，当且仅当它们有完全相同的性质。 形式化这一说法，可以写成

对任意 x 和 y，x = y 当且仅当对任意谓词 P，P(x) 当且仅当 P(y)。

然而，在一阶逻辑中，不能对谓词进行量化。因此，需要使用下述公理：

对任意 x 和 y，若 x 等于 y，则 P(x) 当且仅当 P(y)。

这条公理对任意单变量的谓词 P 都有效，但只定义了莱布尼茨律的一个方向：若 x 和 y 相等，则它们具有相同的性质。 可以通过简单的假设来定义莱布尼茨律的另一个方向：

对任意 x，x 等于 x。

则若 x 和 y 具有相同的性质，则特定的它们关于谓词 P 是相同的。这里谓词 P 为：P(z) 当且仅当 x = z。 由于 P(x) 成立，P(y) 必定也成立（相同的性质），所以 x = y（P 的变量为 y）.

[编辑] 等于的一些基本性质

替代性:

• 对任意量 a 和 b 和任意表达式 F(x)，若 a = b，则 F(a) = F(b)（设等式两边都有意义）。

在一阶逻辑中，不能量化像 F 这样的表达式（它可能是个函数谓词）。

一些例子：

• 对任意实数 a，b，c，若 a = b，则 a + c = b + c（这里 F(x) 为 x + c）；
• 对任意实数 a，b，c，若 a = b，则 a - c = b - c（这里 F(x) 为 x - c）；
• 对任意实数 a，b，c，若 a = b，则 ac = bc（这里 F(x) 为 xc）；
• 对任意实数 a，b，c，若 a = b 且 c 不为零，则 a/c = b/c（这里 F(x) 为 x/c）；

自反性：

• 对任意量 a，a = a。

这个性质通常在数学证明中作为中间步骤。

对称性：

• 对任意量 a 和 b，若 a = b，则 b = a。

传递性：

• 对任意量 a，b，c，若 a = b 且 b = c，则 a = c。

实数或其他对象上的二元关系“约等于”，即使进行精确定义，也不具有传递性（即使看上去有，但许多小的差能够叠加成非常大）。 然而，在绝大多数情况下，等于具有传递性。

尽管对称性和传递性通常看上去是基本性质，但它们能够通过替代性和自反性证明得到。

[编辑] 符号的历史

等于符号或 = 被用来表示一些算术运算的结果，是由 Robert Recorde 在1557年发明的。

由于觉得书写文字过于麻烦，Recorde 在他的作品 The Whetstone of Witte 中采用了这一符号。原因是符号中的两条线一样长，表明其连接的两个量也向等。这一发明在威尔士的 St Mary 教堂有记录。

约等于的符号是 ≈，不等于的符号是 ≠。

[编辑] 外部链接

• 关系符号的早期使用（英文）