等角螺线

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1个分类: 曲線

等角螺线、对数螺线或生长螺线是在自然界常见的螺线，在极坐标系(r, θ)中，这个曲线可以写为

$r = ae^{b\theta}\,$

或

$\theta = \frac{1}{b} \ln(r/a),$

因此叫做“对数”螺线。

[编辑] 定理

等角螺线的臂的距离以几何级数递增。
设 L 为穿过原点的任意直线，则 L 与等角螺线的相交的角永远相等（故其名），而此值为 cot^-1 ln b。
设 C 为以原点为圆心的任意圆，则 C 与等角螺线的相交的角永远相等，而此值为 tan^-1 ln b，名为「倾斜度」
等角螺线是自我相似的；这即是说，等角螺线经放大后可与原图完全相同。
等角螺线的渐屈线和垂足线都是等角螺线。
从原点到等角螺线的任意点上的长度有限，但由那点出发沿等角螺线走到原点却需绕原点转无限次。这是由 Torricelli 发现的。

[编辑] 构造等角螺线

在複平面上定义一个复数 z = a + bi，其中 a, b ≠ 0，那么连结 z、z²、z³…… 的曲线就是一条等角螺线。

若 L 是复平面中的一条直线且不平行于实数或虚数轴，那么指数函数 e^z 会将这些直线映像到以 0 为中心的等角螺线。
使用黄金矩形：

[编辑] 自然现象

鹦鹉螺的贝壳像等角螺线

旋涡星系的旋臂像等角螺线

低气压像等角螺线

鹦鹉螺的贝壳像等角螺线
菊的种子排列成等角螺线
鹰以等角螺线的方式接近它们的猎物
昆虫以等角螺线的方式接近光源
蜘蛛网的构造与等角螺线相似
旋涡星系的旋臂差不多是等角螺线。银河系的四大旋臂的倾斜度约为 12°。
低气压像等角螺线

[编辑] 历史

等角螺线是由笛卡儿在1683年发现的。雅各布·伯努利后来重新研究之。他发现了等角螺线的许多特性，如等角螺线经过各种适当的变换之后仍是等角螺线。他十分惊叹和欣赏这曲线的特性，故要求死后将之刻在自己的墓碑上，并附词「纵使改变，依然故我」(eadem mutata resurgo)。可惜雕刻师误将阿基米德螺线刻了上去。