筹算

筹算是中国古代使用算筹进行计算的方法。具体出现时间已然不可考，但根据典籍记录和考古发现，至少在战国初年筹算已然出现。它使用中国商代发明的十进位制计数，可以很方便地进行四则运算以及乘方，开方等较复杂运算，并可以对零、负数和分数作出表示与计算。从战国时期一直到明朝被珠算取代之前，筹算不但是中国古代进行日常计算的方法，更是中国古代数学家研究数学时常用的计算器具，是中国古代各种重要数学发明的基础，开创了中国古代以计算为中心的数学体系，与古希腊以逻辑推理为中心的数学体系有所不同。

筹算在公元6世纪由中国传入高丽和日本。9世纪初的阿拉伯数学著作，虽然用阿拉伯数字，但其中的十进位制概念，分数的表示法，以及加、减、乘、除四则运算的计算方法，和中国的筹算极为相似，有学者认为，中国古代的筹算，通过丝绸之路传入印度和阿拉伯，促成印度-阿拉伯数字体系^[1]。

[编辑] 数字表示

算筹数系是世界上唯一只用一个符号的方向和位置的组合，表示任何十进位数字或分数的系统。 单位数字：将筹棍竖排一根棍表示1，两根棍表示2，5根棍表示5如图上。但从6至9数字的表示，不是並排6至9根筹棍，而是采用同位五进制，即用一根筹棍代表数码5，横放在筹数1至4的上方如图。这已蕴含算盘雏形。上排是筹算中1至9的竖码，下排是相應數字的横码。

大于9的数字，则用十进制表示，在个位数的位置左边，放置一个筹数，代表这个筹数的十倍，在十位数值左的位置，代表百位数，如此类推。如图所示数二百三十一（231）的表示法，在个位放置一根筹码，表示1，在十位放置筹数3，代表30，在百位放置筹数2，代表200，总数即二百三十一（231）。

筹算板一般是桌面或地面，通常没有格子。如果筹码2，3，1并排排列，有可能被误读为51或24；为了避免邻位误读，祖先发明了每隔一位交替使用竖码横码，即个位竖码，十位用横码，百位用竖码，千位用横码，如此类推，就可以完全避免误读了^[2]。

[编辑] 零的表示

中国自有筹算起就有“0”，即以空位表示“0”。筹算中的零是位置零和运算结果的零，没有特定符号，这和阿拉伯数字专有一个符号0不同，阿拉伯数字0只是符号零，不是运算结果。

[编辑] 正负数

宋代数学家用红色筹码代表正数，用黑色筹码代表负数，也有一律用黑色筹码，但在數字最後一位加一根斜棍標示為负数。^[3]

[编辑] 加法

算筹本身已经包含加法，因此用算筹进行加法运算十分方便快捷。筹算加法与阿拉伯数字加法最大的不同，在于算筹本身具有可加性，用算筹进行加法运算，只须机械地搬动筹棍，即可进行运算，不需要另外背诵加法表，这与阿拉伯数字不同，不可能将阿拉伯数字1和2机械地叠成3字，2和3叠成一个5字。

右图表示3748＋289的运筹步骤：

1. 将被加数3748放第一行，加数289放第二行。
2. 将上行个位数8取出一竖棍，与下行9合并为10，进位，原来十位4变为5。
3. 从上行十位的5，取出二根筹棍，与下行8合为10，进位1，与百位的7合为8。
4. 将百位数的8与2合为10，进位1，与千位的3合为4，即成答案4037。

上行被加数筹码，在运算过程中逐步变化；下行加数筹码，在运算过程中逐步消失。

[编辑] 减法

不需向上一數量級借位的情況下，只要从被减数中去掉与减数相同数目的筹棍，剩余的筹码就是答案。左圖為計算54-23的演示步驟。

左圖為計算4231-789的演示步驟，此情況即為需要向上一數量級借位：

1. 将被减数4231放在上行，减数789放下行。从左往右逐位运筹。
2. 从千位借1为百位10，减去下行该位的7，余数3与上行2合为5，下行本位的7被取去，留空白。
3. 从百位5借1留4，百位所借1减十位下行8得2，与上行3合为5；至此上行筹码为3451，下行为9。
4. 从上行十位的5借1余四，所借1（=10）减去下行9得1，搬往上行得2，至此下行筹码已全部减除，上行得3442即是运算结果。

[编辑] 乘法

《孙子算经》对筹算乘法有详细阐述，左圖即為計算38×76的演示步驟：

1. 将被乘数放在上排（上位），乘数放在下排（下位），乘数的个位，对齐被乘数的最高位。如图：被乘数38在上排，乘数76在下排，其个位数6对齐被乘数38的3。上下排之间，留空几排，作中间积存放处。
2. 从被乘数的最高位开始运筹（例中即先運算30×76，再運算8×76）。在运算中必须运用九九表。据九九表「三七二十一」，将筹码21放在中间排，1对齐乘数的个位，即在6之上；然後「三六一十八」；（30×76得中间积2280），如图中排，至此被乘数的3已经完成运算，从筹板除去。
3. 将乘数76的筹码，往右移动一位，7改横码，6改为竖码；
4. 以下再運算8×76，運算「七八五十六」，撤乘数十位数筹码7；
5. 運算「八六四十八」，4与上一步所得56的6合并为10，进位1，撤去被乘数个位8，撤去乘数个位6；
6. 将中间积2380与508相加，得积2388，至此整條算式运算完毕。

[编辑] 除法

右圖為計算309÷7的演示步驟：

1. 将被除数309放中排，除数7放下排，上排留空。
2. 将除数7左移一位，变横码，用九九表和减法运算30÷7：30除7得4剩2，商4摆上排，2留中排。
3. 将除数7右移一位，改竖码；再用九九表和减法运算29÷7：29除7得4余1，商4放上排，除数不撤，最后得商44，余数1。

[编辑] 分数

用筹算进行除法运算时，如留有余数，则必须保留除数和余数，形成一对筹码，一在上一在下，孙子算经中在上的筹称为“子”，（分子），而在下的称为“母”（分母）。如右图一对筹码一在上一在下，1是子，7是母，构成分数 1/7。

[编辑] 其他

算筹除了可以运算（不论数字多大）加、减、乘、除等四则运算外，还可以求一个数的平方根、立方根、高次根，解多次方程，解联立方程等。

[编辑] 参考文献

• 吴文俊主编 《中国数学史大系·第四卷》第一章 《孙子算经》 第三节 算筹与筹算 北京师范大学出版社 ISBN：7303049258
• 李约瑟 原著 柯林·罗南改编《中华科学文明史》卷2 第一章 数学
• Lam Lay Yong（兰丽蓉） Ang Tian Se（洪天赐）， Fleeting Footsteps， World Scientific ISBN 981-02-3696-4
• Ho Peng Yoke， Li， Qi and Shu ISBN 0-486-41445-0