理想 (数学)

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1个分类: 序理论

在数学分支序理论中，理想是偏序集合的特殊子集。尽管这个术语最初演化自抽象代数中环理想概念，它后来被一般化为一个不同的概念。理想对于序理论和格理论中的很多构造是非常重要的。

[编辑] 基本定义

一个特定偏序集合(P,≤)的非空子集 I 是一个理想，如果下列条件成立:

对于所有 I 中的 x，y ≤ x 蕴涵 y 在 I 中。(I 是下部集合)
对于所有 I 中的 x, y，有某个 I 中的元素 z，使得 x ≤ z 并且 y ≤ z。（I是有向集合）

尽管这是定义任意偏序集合的理想的最一般的方式，它最初只为格定义的。在这种情况下，给出下列等价定义: 格(P,≤)的非空子集 I 是理想，当且仅当它是在有限的并（上确界）下闭合的下部集合，就是说，对于所有I中的 x, y，我们找到x $\vee$ y也在 I 中。

理想的对偶概念，就是说通过反转所有的≤并且交换 $\vee$ 为 $\wedge$ 获得的概念是滤子。术语有序理想或有序滤子有时用于任意的下部集合或上部集合，本文只使用"理想/滤子"和"下部/上部集合"来避免混淆。

一个理想或滤子被称为真理想或真滤子，如果它不等于整个集合P。

包含一个给定元素p的最小理想是主理想而p被称为是这个情况下理想的主元素。主p的主理想 $\downarrow$ p给出为 $\downarrow p = \{ x \in P \ | \ x \le p \}$ 。

[编辑] 素理想

一种特殊情况的理想是它的集合论补集是滤子的那些理想，滤子就是逆序的理想。这种理想叫做素理想。还要注意，因为我们要求理想和滤子非空，所有素理想都是真理想。对于格，素理想可以特征化为如下:

格 (P,≤) 的子集 I 是素理想，当且仅当

I 是 P 的理想，并且
对于所有 P 的元素 x 和 y，x $\wedge$ y 在 I 中蕴涵 x 在 I 中或 y 在 I 中。

很容易发现这个定义实际上等价于声称 P\I 是滤子(它是在对偶意义上的素滤子)。

对于完全格有完全素理想的概念。它定义为带有额外性质的真理想 I，只要某个任意集合 A 的交(下确界)在 I 中，A的某个元素也在 I 中。所以它是扩展上述条件到无穷交的特殊素理想。

素理想的存在一般是不明显的，并且在Zermelo-Fraenkel 集合论中经常不能得出满意数量的素理想。这个问题在各种素理想定理中讨论，它们对于很多需要素理想的应用是必须的。

[编辑] 极大理想

一个理想 I 是极大理想，如果它是真理想并且没有真理想 J 是严格大于 I 的集合。类似的，滤子 F 是极大滤子，如果它是真滤子并且没有严格大于它的真滤子。

当一个偏序集合是分配格的时候，极大理想和滤子必然是素的，而这个陈述的逆命题一般为假。

极大滤子有时叫做超滤子，但是这个术语经常保留给布尔代数，这里的极大滤子(理想)是对于每个布尔代数的元素 a，精确的包含元素 {a, ¬a} 中的一个的滤子(理想)。在布尔代数中，术语素理想和极大理想是一致的，术语素滤子和极大滤子也是一致的。

还有另一个有趣的理想的极大性概念: 考虑一个理想 I 和一个滤子 F，使得 I 不相交于 F。我们感兴趣于在所有包含 I 并且不相交于 F 的所有理想中极大的一个理想 M。在分配格的情况下，这样的一个 M 总是素理想。这个陈述的证明如下。

证明：假定理想 M 关于不相交于滤子 F 是极大性的。假设 M 不是素理想的一个矛盾，就是说，存在着一对元素 a 和 b 使得 a $\wedge$ b 在 M 中但是 a 和 b 都不在 M 中。考虑对于所有 M 中的 m，m $\vee$ a 不在 F 中的情况。你可以通过采用这种形式的所有二元交的向下闭包构造一个理想 N，也就是 N = { x | x≤ m $\vee$ a 对于某些 M 中的 m}。很容易的察觉 N 确实是不相交于 F 的理想，它严格的大于 M。但是这矛盾于 M 的极大性进而 M 不是素理想的假定。

对于其他情况，假定有某个 M 中的 m 带有 m $\vee$ a 在 F 中。现在如果在 M 中任何元素 n 使 n $\vee$ b 在 F 中，你会发现 (m $\vee$ n) $\vee$ b 和 (m $\vee$ n) $\vee$ a 都在 F 中。但因此它们的交在 F 中，通过分配性，(m $\vee$ n) $\vee$ (a $\wedge$ b) 也在 F 中。在另一方面，这个 M 的元素的有限交明显的 M 中，使得假定的 n 的存在性矛盾于两个集合不相交性。因此 M 的所有元素 n 有不在 F 中的与 b 的交。因此你可以应用上述与 b 的构造代替 a 来获得严格的大于 M 而不相交于 F 的一个理想。证明结束。

但是，一般而言是否存在这个意义上极大的任何理想 M。然而如果我们在我们的集合论中假定选择公理，那么可以正式对于所有不相交的滤子-理想-对的 M 的存在。在要考虑的次序是布尔代数的特殊情况下，这个定理叫做布尔素理想定理。它严格的弱于选择公理，而理想的很多集合论应用不需要更多的东西了。

[编辑] 应用

理想和滤子的构造在序理论的很多应用中是非常重要的工具。

在 Stone 的布尔代数的表示定理中，使用极大理想(或等价的通过反映射超滤子)来获得拓扑空间的点集，它的闭集同构于最初的布尔代数。

序理论有很多补全过程，把偏序集合变成带有额外的完备性性质的偏序集合。例如，一个给定偏序 P 的理想补全是 P 通过子集包含排序的所有理想的集合。这个构造产生了 P 所生成自由的dcpo。进一步的理想完全充当从它的紧致元素的集合重新构造任何代数 dcpo。

[编辑] 历史

理想由 Marshall H. Stone 首先介入，它的名字起源自抽象代数的环理想。这个术语源于如下事实，使用布尔代数和布尔环的范畴同构，这两个概念实际是一致的。

[编辑] 文献

理想和滤子是序理论的最基本概念。参见序理论和格理论，和布尔素理想定理中的介绍。

一个在线免费专著:

Burris, Stanley N., and H.P. Sankappanavar, H. P., 1981. A Course in Universal Algebra. Springer-Verlag. ISBN 3-540-90578-2.

[编辑] 参见

滤子 (数学)

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