紧致性定理

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紧致性定理是符号逻辑和模型论中的基本事实，它断言一阶句子的(可能无限的)集合是可满足的、就是说有一个模型，当且仅当它的所有有限子集是可满足的。

命题演算的紧致性定理是 Tychonoff定理(它声称紧致空间的积是紧致的)应用于紧致 Stone空间的结果。

[编辑] 应用

从这个定理可以得出，如果某个一阶句子对于特征值为零的所有域都成立，则存在着一个常量 p，使得这个句子对特征值大于 p 的所有域都成立。这可以被看作为如下: 假定 S 是要考虑的句子。那么它的否定 ~S，和域公理与句子的无限序列 1+1 ≠ 0, 1+1+1 ≠ 0, ... 一起，不能被假定所满足。所以这些句子的有限子集是不可满足的，意味着 S 在有足够大特征值的这些域中成立。

从这个定理还得出，有一个无限模型的任何理论都有任意大基数的模型。所以，有着带有不可数多个自然数的皮亚诺算术有非标准模型。非标准分析是出现无限个自然数的另一个例子，是不能被任何公理化所排除的可能事物，也是紧致性定理的一个推论。

[编辑] 证明

紧致性定理可以使用哥德尔完备性定理来证明，它确立了一组句子是可满足的，当且仅当没有矛盾可以证明自它们。事实上，紧致性定理等价于哥得尔完备性定理，并且二者都等价于超滤子引理，它是弱形式的选择公理。因为证明总是有限的，所以只涉及有限多个给定句子，就得出了紧致性定理。

哥德尔最初就是以这种方式证明紧致性定理的，但是后来又找到了紧致性定理的一些“纯语义”证明，就是说提及“真理”但不提及“可证明性”的证明。这些证明倚赖于依仗选择公理的超乘积:

证明: 固定一个一阶语言 L，并设 Σ 为 L-句子的搜集，使得所有 L-句子的子搜集 i ⊆ Σ 都有模型 $\mathcal{M}_i$ 。还设 $\prod_{i \subseteq \Sigma}\mathcal{M}_i$ 是这些结构的直接乘积，和 I 是 Σ 的有限子集的搜集。对于 I 中每个 i 设 A_i := { j ∈ I : j ⊇ i}。所有这些集合 A_i 的家族形成一个滤子(filter)，所以有一个超滤子(ultrafilter) U 包含形如 A_i 的所有集合。