线性代数

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线性代数是数学的一个分支，它的研究对象是向量，向量空间（或称线性空间），线性变换和有限维的线性方程组。向量空间是现代数学的一个重要课题；因而，线性代数被广泛地应用于抽象代数和泛函分析中；通过解析几何，线性代数得以被具体表示。线性代数的理论已被泛化为算子理论。由于科学研究中的非线性模型通常可以被近似为线性模型，使得线性代数被广泛地应用于自然科学和社会科学中。

目录 1 历史 2 基本介绍 3 一些有用的定理 4 一般化和相关主题 5 注解 6 参见 7 引用 8 外部链接

[编辑] 历史

现代线性代数的历史可以上溯到1843年和1844年。1843年，哈密顿发现了四元数。1844年，格拉斯曼发表了他的著作《Die lineare Ausdehnungslehre》。1857年，阿瑟·凯莱介入了矩阵，这是最基础的线性代数思想之一。这些早期的文献掩饰了线性代数主要在二十世纪发展的事实: 在抽象代数的环论开发之前叫做矩阵的类似数的对象是难于名次列前的。随着狭义相对论的到来，很多开拓者增值了线性代数的微妙。进一步的，解偏微分方程的克莱姆法则的例行应用导致了大学的标准教育中包括了线性代数。例如，E.T. Copson 写到:

当我在 1922 年到爱丁堡做年轻的讲师的时候，我惊奇的发现了不同于牛津的课程。这里包括了我根本就不知道的主题如勒貝格积分、矩阵论、数值分析、黎曼几何...

1888 年，弗兰西斯·高尔顿发起了相关系数的应用。经常有多于一个随机变量出现并且它们可以互相关。在多变元随机变量的统计分析中，相关矩阵是自然的工具。所以这种随机向量的统计研究帮助了矩阵用途的开发。

[编辑] 基本介绍

线性代数起源于对二维和三维直角坐标系的研究。 在这里，一个向量是一个有方向的线段，由长度和方向同时表示。这样向量可以用来表示物理量，比如力，也可以和标量做加法和乘法。这就是实数向量空间的第一个例子。

现代线性代数已经扩展到研究任意或无限维空间。一个维数为 n 的向量空间叫做 n 维空间。在二维和三维空间中大多数有用的结论可以扩展到这些高维空间。尽管许多人不容易想象 n 维空间中的向量，这样的向量（即 n 元组）用来表示数据非常有效。由于作为 n 元组，向量是 n 个元素的“有序”列表，大多数人可以在这种框架中有效地概括和操纵数据。比如，在经济学中可以使用 8 维向量来表示 8 个国家的国民生产总值（GNP）。当所有国家的顺序排定之后，比如 (中国, 美国, 英国, 法国, 德国, 西班牙, 印度, 澳大利亚)，可以使用向量 (v₁, v₂, v₃, v₄, v₅, v₆, v₇, v₈) 显示这些国家某一年各自的 GNP。这里，每个国家的 GNP 都在各自的位置上。

作为证明定理而使用的纯抽象概念，向量空间（线性空间）属于抽象代数的一部分，而且已经非常好地融入了这个领域。一些显著的例子有： 不可逆线性映射或矩阵的群，向量空间的线性映射的环。 线性代数也在数学分析中扮演重要角色，特别在 向量分析中描述高阶导数，研究张量积和可交换映射等领域。

向量空间是在域上定义的，比如实数域或复数域。线性算子将线性空间的元素映射到另一个线性空间（也可以是同一个线性空间），保持向量空间上加法和标量乘法的一致性。所有这种变换组成的集合本身也是一个向量空间。如果一个线性空间的基是确定的，所有线性变换都可以表示为一个数表，称为矩阵。对矩阵性质和矩阵算法的深入研究（包括行列式和特征向量）也被认为是线性代数的一部分。

我们可以简单地说数学中的线性问题——-那些表现出线性的问题——是最容易被解决的。比如微分学研究很多函数线性近似的问题。 在实践中与非线性问题的差异是很重要的。

線性代數方法是指使用线性观点看待问题，并用线性代数的语言描述它、解决它（必要时可使用矩阵运算）的方法。這是数学與工程學中最主要的应用之一。

[编辑] 一些有用的定理

• 每一个线性空间都有一个基。^[1]
• 对一个 n 行 n 列的非零矩阵 A，如果存在一个矩阵 B 使 AB = BA = I（I 是单位矩阵），则 A 为非奇异矩阵。
• 一个矩阵非奇异当且仅当它的行列式不为零。
• 一个矩阵非奇异当且仅当它代表的线性变换是个自同构。
• 一个矩阵半正定当且仅当它的每个特征值大于或等于零。
• 一个矩阵正定当且仅当它的每个特征值都大于零。

[编辑] 一般化和相关主题

线性代数是一个成功的理论，其方法已经被应用于数学的其他分支。

• 模论就是将线性代数中的标量的域用环替代进行研究。
• 多线性代数将映射的“多变量”问题线性化为每个不同变量的问题，从而产生了张量的概念。
• 在算子的光谱理论中，通过使用数学分析，可以控制无限维矩阵。

所有这些领域都有非常大的技术难点。

[编辑] 注解

1. ↑ 对于有限生成的向量空间存在一个基是直接了当的，但是在完全一般性的情况下，它逻辑上等价于选择公理。

[编辑] 参见

• 线性代数相关条目
• 重要线性代数著作
• 数值线性代数

[编辑] 引用

[编辑] 外部链接

• MIT Linear Algebra Lectures: free videos from MIT OpenCourseWare
• Streaming MIT Linear Algebra Lectures at Google Video
• Linear Algebra Toolkit.
• Linear Algebra Workbench: multiply and invert matrices, solve systems, eigenvalues etc.
• Linear Algebra on MathWorld.
• Linear Algebra overview and notation summary on PlanetMath.
• Matrix and Linear Algebra Terms on Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics
• Linear Algebra by Elmer G. Wiens. Interactive web pages for vectors, matrices, linear equations, etc.
• Linear Algebra Solved Problems: Interactive forums for discussion of linear algebra problems, from the lowest up to the hardest level (Putnam).
• Linear Algebra for Informatics. José Figueroa-O'Farrill, University of Edinburgh
• Linear Algebra by Jim Hefferon: A free textbook with exercises and a solutions guide written by a professor at Saint Michael's College.
• Online Notes / Linear Algebra Paul Dawkins, Lamar University
• Elementary Linear Algebra textbook with solutionspms:Àlgebra linear