线性映射

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在数学中，线性映射(也叫做线性变换或线性算子)是在两个向量空间之间的函数，它保持向量加法和标量乘法的运算。术语“线性变换”特别常用，尤其是对从向量空间到自身的线性映射(自同态)。

在抽象代数中，线性映射是向量空间的同态，或在给定的域上的向量空间的范畴的态射。

[编辑] 定义和第一个推论

设 V 和 W 是在相同域 K 上的向量空间。函数 f : V → W 被称为是线性映射，如果对于 V 中任何两个向量 x 和 y 与 K 中任何标量 a，满足下列两个条件:

$f(x+y)=f(x)+f(y) \,$	可加性
$f(ax)=af(x) \,$	均匀性(homogeneity)

这等价于要求对于任何向量 x₁, ..., x_m 和标量 a₁, ..., a_m，方程

$f(a_1 x_1+\cdots+a_m x_m)=a_1 f(x_1)+\cdots+a_m f(x_m)$

成立。

偶尔的，V 和 W 可被看作在不同域上的向量空间。那么必须指定那些基础域要被用在“线性”的定义中。如果 V 和 W 被看作前面的域 K 上的空间，我们谈论的就是 K-线性映射。例如，复数的共轭是 R-线性映射 C → C，而不是 C-线性映射。

从 V 到 K (K 被看作在自身上的向量空间)的线性隐射被叫做线性泛函。

从定义立即得出 f(0) = 0。因此线性映射有时叫做均匀线性映射(参见线性泛函)。

[编辑] 例子

恒等映射和零映射是线性的。

对于实数，映射 $x\mapsto x^2$ 不是线性的。

如果 A 是 m × n 矩阵，则 A 定义从 Rⁿ 到 R^m 的线性映射，通过映射列向量 x ∈ Rⁿ 到列向量 Ax ∈ R^m。反过来说，在有限维向量空间之间的任何线性映射都可以用这种方式表示；参见后面章节。

积分生成从在某个区间的实数值上所有可积分函数的空间到 R 的线性映射。

微分是从所有可微分函数的空间到所有函数的空间的线性映射。

如果 V 和 W 在域 F 上的有限维向量空间，则映射线性映射 f : V → W 到在后面所描述方式的 dim_F(W) × dim_F(V) 矩阵的函数自身是线性映射。

[编辑] 矩阵

如果 V 和 W 是有限维的，并且在这些空间中有选择好的基，则从 V 到 W 的所有线性映射可以被表示为矩阵；这是很有用的，因为它允许具体的运算。反过来说，矩阵生成线性映射的例子: 如果 A 是实数的 m × n 矩阵，则规则 f(x) = Ax 描述一个线性映射 Rⁿ → R^m (参见欧几里德空间)。

设 $\{v_1, \cdots, v_n\}$ 是 V 的一个基。则在 V 中所有向量 v 是唯一的由在

$c_1 v_1+\cdots+c_n v_n$

的系数 $c_1, \cdots, c_n$ 确定的。如果 f : V → W 是线性映射，

$f(c_1 v_1+\cdots+c_n v_n)=c_1 f(v_1)+\cdots+c_n f(v_n),$

这蕴涵了这个函数 f 是完全由

$f(v_1),\cdots,f(v_n)$

的值确定的。

现在设 $\{w_1, \dots, w_m\}$ 是 W 的基。则可以表示每个 $f (v j)$ 的值为

$f(v_j)=a_{1j} w_1 + \cdots + a_{mj} w_m$ 。

因此函数 f 是完全由 $a i, j$ 的值确定的。

如果把这些值放置到 m × n 矩阵 M 中，则可以方便的使用它来计算 f 对在 V 中任何向量的值。如果我放置 $c_1, \cdots, c_n$ 的值到 n × 1 矩阵 C，我们有 MC = f(v)。

一个单一的线性映射可以由很多矩阵表示。这是因为矩阵的元素的值依赖于选择的基。

[编辑] 线性变换矩阵的例子

二维空间 R² 的线性变换的一些特殊情况有:

坐标轴绕原点顺时针旋转 90 度:

$A=\begin{bmatrix}0 & -1\\ 1 & 0\end{bmatrix}$
坐标轴绕原点逆时针旋转 90 度:

$A=\begin{bmatrix}0 & 1\\ -1 & 0\end{bmatrix}$
针对 x 轴反射:

$A=\begin{bmatrix}1 & 0\\ 0 & -1\end{bmatrix}$
在所有方向上缩放 2 倍:

$A=\begin{bmatrix}2 & 0\\ 0 & 2\end{bmatrix}$
垂直错切:

$A=\begin{bmatrix}1 & m\\ 0 & 1\end{bmatrix}$
挤压:

$A=\begin{bmatrix}k & 0\\ 0 & 1/k\end{bmatrix}$
投影于 y 轴:

$A=\begin{bmatrix}0 & 0\\ 0 & 1\end{bmatrix}$

[编辑] 从给定线性映射形成新的线性映射

线性映射的复合是线性的: 如果 f : V → W 和 g : W → Z 是线性的，则 g o f : V → Z 也是线性的。

线性映射的逆在有定义的时候也是线性映射。

如果 f₁ : V → W 和 f₂ : V → W 是线性的，则它们的和 f₁ + f₂ 也是线性的(这是由 (f₁ + f₂)(x) = f₁(x) + f₂(x) 定义的)。

如果 f : V → W 是线性的，而 a 是基础域 K 的一个元素，则定义自 (af)(x) = a (f(x)) 的映射 af 也是线性的。

所以从 V 到 W 的线性映射的集合 L(V,W) 自身形成在 K 上的向量空间，有时指示为 Hom(V,W)。进一步的说，在 V=W 的情况中，这个向量空间(指示为 End(V))是在映射复合下的结合代数，因为两个线性映射的复合再次是线性映射，所以映射的复合总是结合律的。

给定有限维的情况，如果基已经选择好了，则线性映射的复合对应于矩阵乘法，线性映射的加法对应于矩阵加法，而线性映射与标量的乘法对应于矩阵与标量的乘法。

[编辑] 自同态和自同构

线性变换 f : V → V 是 V 的自同态(endomorphism)；所有这种自同态的集合 End(V) 与如上定义的加法、复合和标量乘法一起形成一个结合代数，带有在域 K 上的单位元(特别是一个环)。这个代数的乘法单位元是恒等映射 id : V → V。

V 的自同态也是叫做 V 的自同构的同构。。两个自同构的复合再次是自同构，而 V 的所有的自同构的集合形成一个群，V 的自同构群指示为 Aut(V) 或 GL(V)。因为自同构正好是那些拥有在复合下的逆元的自同态，Aut(V) 是在环 End(V) 中可逆元的群。

如果 V 有有限维度 n，则 End(V) 同构于带有在 K 中元素的所有 n × n 矩阵的结合代数。V 的自同态群同构于带有在 K 中元素的所有 n × n 可逆矩阵的一般线性群 GL(n, K) 。

[编辑] 核、像和秩-零维度定理

如果 f : V → W 是线性的，我们定义 f 的核和像或值域为

$\operatorname{\ker}(f)=\{\,x\in V:f(x)=0\,\}$

$\operatorname{im}(f)=\{\,f(x):x\in V\,\}$

ker(f) 是 V 的子空间，而 im(f) 是 W 的子空间。下面的叫做秩-零维度定理的维度公式经常是有用的:

$\dim(\ker( f )) + \dim(\operatorname{im}( f )) = \dim( V ) \,$

dim(im(f)) 的数也叫做“f 的秩”(rank)并写为 rk(f)，有时写为 ρ(f)；dim(ker(f)) 的数也叫做“f 的零维度”(nullity)并写为 ν(f)。如果 V 和 W 是有限维的，基已经选择好并且 f 被表示为矩阵 A，则 f 的秩和零维度分别等于矩阵 A 的秩和零维度。

[编辑] 参见

[编辑] 引用

Halmos, Paul R., Finite-Dimensional Vector Spaces, Springer-Verlag, (1993). ISBN 0-387-90093-4.

来自“http://www.wikilib.com/wiki/%E7%BA%BF%E6%80%A7%E6%98%A0%E5%B0%84”

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