开放、中立，源自维基百科

个人工具

登录或创建账户

用搜狗搜索相关网站

群作用

维库，知识与思想的自由文库

跳转到: 导航, 搜索

4个分类: 抽象代数 | 代数 | 群论 | 置换群

数学上，对称群描述物体的所有对称性。这是通过群作用的概念来形式化的：群的每个元素作为一个双射（或者对称作用）作用在某个集合上。在这个情况下，群称为置换群（特别是在群有限或者不是线性空间时）或者变换群（特别是当这个集合是线性空间而群作为线性变换作用在集合上时）。一个群G的置换表示时群作为一个集合的置换群的群表示（通常该集合有限），并且可以表述为置换矩阵，一般在有限的情形作此考虑－这和作用在有序的线性空间基上是一样的。

[编辑] 定义

若 $G$ 为一个群而 $X$ 为一个集合，则 $G$ 在 $X$ 上的一个(左) 群作用是一个二元函数 $\cdot : \mathrm{G} \times \mathrm{X} \rightarrow \mathrm{X}$ (其中 $g \in \mathrm{G}$ 和 $x \in \mathrm{X}$ 的像写作 $g \cdot x$ )，满足如下两条公理：

$(g h) \cdot x = g \cdot (h \cdot x)$ 对于所有 $g, h \in \mathrm{G}$ 和 $x \in \mathrm{X}$ 成立
$e \cdot x = x$ 对于每个 $x \in \mathrm{X}$ 成立 ( $e$ 代表 $G$ 的么元)

从这两条公理，可以得出对于每个 $g \in \mathrm{G}$ ，映射 $x \in \mathrm{X}$ 到 $g \cdot x$ 的函数是一个双射，从 $X$ 映射到 $X$ 。因此，也可以将 $G$ 在 $X$ 上的群作用定义为从 $G$ 到对称群 $S X$ 的群同态。

若群作用 $\mathrm{G} \times \mathrm{X} \rightarrow \mathrm{X}$ 给定，我们称G作用于集合X或者X是一个G-集合。

完全一样地，可以定义一个G在X上的右群作用为函数 $g : \mathrm{X} \times \mathrm{G} \rightarrow \mathrm{X}$ ，满足以下公理：

$x \cdot (g h) = (x \cdot g) \cdot h$
$x \cdot e = x$

注意左和右作用的区别仅在于象gh这样的积在x上作用的次序。对于左作用h先作用然后是g，而对于右作用g先作用然后是h。从一个右作用可以构造一个左作用，只要和群上的逆操作复合就可以了。如果r为一右作用，则

$l : G \times M \to M : (g, m) \mapsto r(m, g^{-1})$

是一左作用，因为

$l(gh, m) = r(m, (gh)^{-1}) = r(m, h^{-1}g^{-1}) = r(r(m, h^{-1}), g^{-1}) = r(l(h, m), g^{-1}) = l(g, l(h, m))\,$

而

$l(e, m) = r(m, e^{-1}) = r(m, e) = m\,$

所以在这里，我们只考虑左群作用，因为右作用可以相应推理。

[编辑] 例子

来自“http://wyuwyu.movieclub.com.cn/wiki/%E7%BE%A4%E4%BD%9C%E7%94%A8”

查看

导航

搜索

工具

其它语言

English

AD Links