群基本定理

根據维库的删除守则，本条目可能需要被删除，刪除請求已經被列在此處，提出删除的理由為：群基本定理的称法不存在，不宜立为条目，而且此条目与群条目重叠，内容单薄。歡迎直接參與編輯改善本條目，並參與本條目的存廢討論，以社群的討論結果決定存廢。

请不要清空、合并或移动本条目，也請勿移除此模版。请參看删除指导。

如果您剛剛在本頁面掛上本標籤，請單擊這裡提交刪除討論。

我们称(G,*)为一个群，如果：

G是一个非空集合，*是定义在G上的一个代数运算（a*b简写为ab），并且满足如下条件：

1) *满足交换律，也就是说对G中的任意元素a、b和c有(ab)c=a(bc).

2) G中存在一个单位元素e，满足对G中的任意元素a有ae=a.

3) 对于G中任意一个元素a，G中存在一个a的逆元a^-1使得aa^-1=e.

[编辑] 基本定理

定理1.1

对于G中任意的元素a和b，如果ab=e，那么ba=e

证明：由3)可知，对于b有c∈G使得bc=e

则a=ae=a(bc)=(ab)c=ec

再左乘b可得ba=b(ec)=(be)c=bc=e

定理1.2

如果对G中任意元素a有ae=a，那么也有ea=a

证明：取b∈G，使得ab=e，那么由定理1.1可知ba=e

则a=ae=a(ba)=(ab)a=ea

定理1.3

单位元素是唯一的

证明：如果G中存在两个单位元素e₁和e₂，那么由定理1.2可得

e₁=e₁e₂=e₂

《代数学引论》第二版 ISBN 7-04-008893-2 聂灵沼、丁石孙著，高等教育出版社出版